Transformasi Crosscap menjadi permukaan Boy, melalui permukaan Steiner Roma

Transformasi Crosscap menjadi permukaan Boy, melalui permukaan Steiner Roma

Cara mengubah crosscap menjadi permukaan Boy (kanan atau kiri, sesuai pilihan) dengan melewati permukaan Steiner Roma.

27 September 2003

halaman 4

Model kemudian ditampilkan dari sudut lain:

Lembar 14: Operasi yang sama diulang dengan menciptakan "telinga ketiga" dari kurva interseksi diri. Dalam bentuk polihedral, bentuk ini berupa tiga persegi yang memiliki satu titik sudut bersama: titik ganda T.

Lembar 15: Dengan memutar objek, Anda akan menemukan versi polihedral dari permukaan Boy yang saya perkenalkan dan sajikan dalam Topologicon (yang berisi pemotongan untuk membangunnya).

Lembar terakhir: Saya mencoba menggambarkan permukaan Steiner (berderajat keempat, sedangkan permukaan Boy berderajat keenam) sedang berputar dan berubah menjadi permukaan Boy.

Dapat dilihat bahwa dalam bentuk "bulat", diperlukan kebiasaan yang kuat untuk memahami objek ini. Mata kita sangat tidak nyaman saat mencoba memahami objek di mana lebih dari dua lapisan tumpang tindih pada satu garis pandangan. Oleh karena itu, pentingnya bentuk polihedral yang membuat transformasi yang dianggap rumit dalam geometri menjadi aksesibel bagi umum, karena orang-orang melakukan usaha untuk membangun model-model tersebut sendiri. Dalam proses ini, kita juga menyadari bahwa tergantung pada pasangan titik kuspidal yang dipilih, kita mendapatkan permukaan Boy "kanan" atau "kiri" (kata-kata yang sepenuhnya arbitrer). Bidang proyekif tertanam dalam dua representasi "enantioform", seperti cermin. Dapat dilihat bahwa kita dapat beralih dari permukaan Boy kanan ke permukaan Boy kiri melalui model "tengah" yang merupakan permukaan Steiner Roma.

Mungkin akan menyenangkan jika gambar-gambar seperti ini dipublikasikan di Pour la Science atau La Recherche. Namun selama dua puluh tahun terakhir saya dilarang terbit di majalah-majalah tersebut karena alasan deviasiisme UFO. Terima kasih, Tuan Hervé This dan Philippe Boulanger. Saya tidak lagi menghitung berapa banyak artikel semacam ini yang saya kirim ke majalah-majalah tersebut dan yang secara sopan dikembalikan. Akhirnya kita terbiasa dengan status sebagai orang yang dikeluarkan dari komunitas.

Secara anekdot, di Prancis ada "Penghargaan Alembert" yang ditujukan untuk menghargai penulis buku-buku populer dalam matematika. Kisah ini saya dengar dari seorang anggota komisi yang ditugaskan menentukan siapa yang layak menerima penghargaan tersebut (memang ada uangnya). Dialog:

• Tapi bagaimana kalau kita berikan penghargaan ini kepada Petit? Ia telah membuat karya-karya luar biasa seperti Géométricon, Trou Noir, dan Topologicon.

• Ya, tapi ia tidak hanya membuat album-album itu.

• Apa maksud Anda?

• Ia juga menulis Mur du Silence.

• Ah, kalau begitu...

Ya, Mur du Silence, terbit tahun 1983, adalah album yang didedikasikan untuk MHD. Dan, seperti diketahui, ilmu ini yang kontroversial memiliki keistimewaan atau kecerdikan untuk memungkinkan cakram terbang bergerak dengan kecepatan supersonik tanpa menghasilkan ledakan.

Sembunyikan ilmu ini, agar saya tidak melihatnya

Saya memiliki versi luar biasa dari "pembalikan kubus" dengan model pusat yang sangat indah, yang bukan versi polihedral dari varian Morin. Semuanya hasil karya saya sendiri. Suatu saat nanti.....

22 Oktober 2003: Tidak banyak yang mampir ke halaman-halaman ini, jika dilihat dari angka pada penghitung. Pada hari Senin, 13 Oktober 2003, saya memberikan seminar di CMI (Pusat Matematika dan Informatika Château-Gombert-Marseille) atas undangan Trotman. Dalam kesempatan itu, saya bisa menampilkan koleksi sekitar tiga puluh model dari kertas, yang kelak akan Anda lihat lebih dulu, karena telah difoto oleh Christophe Tardy.

Saat memberikan seminar, suasana tertentu muncul. Pada foto berikut, seorang ahli geometri yang menunjukkan keraguan.

Di latar belakang, sebagian dari model-model yang dipamerkan. Pada suatu saat saya bertanya:

- Siapa yang pernah melihat permukaan Steiner Roma? Angkat tangan.

Tidak ada yang pernah melihatnya. Maka saya merasa perlu memperkenalkan objek tersebut secara virtual menggunakan laptop yang saya bawa, objek yang dibuat bersama Christophe Tardy, insinyur, dan Frédéric Descamp dari Institut Laue Langevin di Grenoble (ILL). Jelas, presentasi ini membingungkan audiens, yang tidak terbiasa melihat permukaan matematika berputar-putar sesuai keinginan.

Dua papan kardus yang terlihat di depan digunakan untuk menampilkan urutan model-model secara logis. Model "hijau dan kuning" menggambarkan, dalam bentuk polihedral, alat utama untuk menciptakan atau menghilangkan pasangan titik kuspidal. Objek putih yang paling jauh adalah versi polihedral dari Cross Cap, yang pertama kali berubah menjadi versi polihedral dari permukaan Steiner Roma, satu meter lebih jauh, lalu, sesuai keinginan, menjadi permukaan Boy "kanan" atau "kiri".

Analisis model-model ini memunculkan berbagai komentar dari audiens. Salah satu ahli geometri bertanya:

- Jika dengan mengikuti model-model ini, kita bisa berpindah dari Cross Cap ke Boy, tampaknya jika kita melakukan sebaliknya, kita bisa mengubah Boy kembali menjadi Cross Cap.

Saya menjawab dengan afirmatif. Dengan berani, lawan bicara saya menambahkan:

- Jika kita berhenti pada tahap permukaan Steiner Roma, maka kita bisa kembali ke permukaan Boy cermin.

Saya menyetujui sekali lagi. Namun sayangnya, tidak ada yang mau menjelaskan lebih lanjut tentang dunia aneh ini di mana kita memberi titik kuspidal pada imersi permukaan tertutup, yang diciptakan atau dihilangkan secara berpasangan, keseluruhannya merupakan perluasan dari dunia imersi. Kata "submersi" menurut saya sangat tepat. Jika seorang pembaca menemukan penjelasan, akan sangat disambut.

Kelengkungan terkonsentrasi di satu titik kuspidal

Kita akan menghitungnya dengan menjumlahkan sudut-sudut di titik puncak dan membandingkannya dengan jumlah Euclidean: 2 p.

Di atas kiri, ditampilkan salah satu dari banyak representasi polihedral dari titik kuspidal. Pembongkaran objek (di sebelah kanan) menghasilkan jumlah yang melebihi jumlah Euclidean 2 p sebesar 2 a. Dari sini dapat disimpulkan bahwa kelengkungan sudut yang terkonsentrasi di sekitar titik C adalah -2a. Jika sudut a sama dengan p/2, maka kelengkungan negatifnya adalah c (gambar di bawah kiri). Sebenarnya, kelengkungan terkonsentrasi di titik kuspidal dapat memiliki tak hingga nilai. Di bawah kanan, kita memperbesar jumlah sudut dan kelengkungan menjadi < 2a. Kelengkungan negatif diperbesar.

Dengan cara terbalik, kita bisa mencapai situasi yang cukup mengejutkan: membuat kelengkungan (sudut) terkonsentrasi di C menjadi ... nol:

Sekarang kita mulai dari representasi polihedral Cross Cap yang memiliki dua titik kuspidal, masing-masing dengan kelengkungan negatif sebesar -p:

Ada delapan "posicoins" yang sesuai dengan nilai +p/2. Tambahkan empat "posicoins" lain dengan kelengkungan +p/4 dan empat "négacoins" dengan kelengkungan -p/4.

Ditambah dua titik kuspidal dengan kelengkungan -p.

Total: 2p

Dengan membagi kelengkungan total ini dengan 2p, kita kembali mendapatkan karakteristik Euler-Poincaré dari semua representasi bidang proyekif (seperti permukaan Boy).

Selama seminar saya menyebutkan seni dan cara menukar dua titik kuspidal pada Cross Cap menggunakan pembalikan bola. Saya tidak tahu apakah saya pernah menulis hal ini di situs saya. Itu sangat berantakan. Saya harus mencarinya, kalau tidak, saya akan menulisnya di suatu tempat. Ini cukup menghibur. Yang jelas, pertunjukan ini tidak disukai oleh salah satu peserta seminar.

• Saya tidak mengerti mengapa Petit menggunakan perlengkapan seperti ini untuk membuktikan simetri yang menghubungkan dua titik kuspidal pada Cross Cap. Ada cara yang jauh lebih sederhana.

Lalu ia menggambar di papan tulis gambar bola yang dihimpit oleh dua batang yang disambungkan, yang menghasilkan struktur interseksi diri berbentuk segmen yang dibatasi oleh dua titik kuspidal, seperti pada Cross Cap. Sayangnya, dan orang itu menyadari, ini bukan Cross Cap.

• Sungguh, lalu apa ini? Tanya seseorang.

Ini hanyalah bola biasa yang dilengkapi dua titik kuspidal. Jika kedua titik itu digabungkan, maka garis interseksi diri akan menjadi lingkaran sederhana. Dan kita mendapatkan imersi bola di bawah kiri (dalam potongan) yang hanya perlu kita ubah menjadi embeding-nya. Kita juga bisa beralih ke representasi polihedral dari permukaan ini:

Ini adalah permukaan dua sisi dan kelengkungannya adalah 2p.

Jadi kita bisa bermain-main cukup banyak dengan "submersi" ini. Ambil imersi torus yang terdiri dari memutar simbol "tak hingga" atau angka "delapan" mengelilingi suatu sumbu.

Teknik penggabungan titik kuspidal akan memungkinkan kita mencapai embedding standar torus dengan cepat, seperti yang ditunjukkan pada gambar-gambar berikut.

Namun terkadang, hal-hal tidak semudah dan sejelas itu. Misalnya, saya mengambil bola yang saya hamparkan antara dua segmen yang panjangnya kali ini lebih pendek dari diameter. Kita tetap mendapatkan dua titik kuspidal.

Karena kita bisa menempatkan pita Möbius di dalamnya, permukaan ini bersifat unilater. Kami menampilkan representasi polihedralnya yang memungkinkan perhitungan kelengkungan total. Hasilnya adalah nol. Jika saya tidak salah, ini akan menjadi botol Klein. Biasanya kita hanya mengenal imersi paling klasik di mana garis interseksi diri berbentuk lingkaran sederhana. Tapi ada juga yang lain, seperti ini. Saya akui, saya belum menemukan cara mengubah objek di atas menjadi imersi botol Klein. Saya juga tidak tahu apakah berbagai imersi ini termasuk dalam grup homotopi yang sama (bola hanya memiliki satu). Secara umum tidak, karena torus dapat diimergi dalam empat cara berbeda yang tidak dapat dihubungkan satu sama lain melalui homotopi reguler. Sementara itu, saya bersenang-senang mengubah permukaan ini dengan menciptakan dua titik kuspidal tambahan, dan kita mendapatkan dua Cross Cap yang dihubungkan oleh tabung. Dengan memotongnya, kita kembali mendapatkan karakteristik Euler-Poincaré sebesar nol.

Permukaan "aneh" ini seharusnya bisa diubah menjadi salah satu imersi botol Klein. Tapi yang mana? Setidaknya ini adalah salah satu yang diperoleh dengan memutar "delapan" mengelilingi suatu sumbu dan menambahkan setengah putaran:

Halaman sebelumnya

Kembali ke daftar "Transformasi Cross Cap menjadi Boy"

Kembali ke Panduan Kembali ke Halaman Utama

Jumlah kunjungan sejak 6 Oktober 2003: