Bisakah kita berpikir seperti kepiting?
27 Februari 2009
Kita berkomunikasi, antara lain, melalui bahasa, dan bahasa ini seharusnya mencerminkan struktur logika kita. Dalam bahasa kita, kita telah menciptakan struktur dualitas, dengan YA dan TIDAK, BENAR dan SALAH, yang mengarah pada "pemikiran Aristoteles" di mana setiap pernyataan (seorang logikawan akan menyebutnya "proposisi") hanya bisa BENAR atau SALAH. Hal ini disebut
prinsip eksklusi tengah.
Sayangnya, pengalaman tidak mengikuti teori, dan frasa kita penuh dengan pernyataan yang tidak dapat diputuskan, yang tidak benar maupun salah, seperti
Saya sedang berbohong
Selama lebih dari satu abad, para logikawan telah menunjukkan kreativitas luar biasa untuk mencoba membangun logika non-dualitas. Mari kita lihat contoh logika tri-valensi, yaitu
logika yang disebut kabur,
dengan nilai kebenaran:
Benar Tidak Tentu Salah
Logika ini telah terbukti efektif dalam otomasi dan kontrol proses (dalam teknik).
Upaya untuk membangun logika tetra-valensi juga telah dilakukan, yang paling klasik memiliki nilai kebenaran:
Benar
Salah
Benar dan Salah
Bukan Benar maupun Salah
Upaya perluasan ini ternyata tidak produktif.
Dalam bukunya:
Untuk menghubungi penulis langsung:
Kesalahan
Penulis memberi tahu kami bahwa terdapat kesalahan dalam salah satu tabel yang disajikan dalam bukunya. Ini adalah tabel pada halaman 29, versi warna berada di halaman 135.
Pertama-tama, terima kasih atas minat Anda terhadap karya ini, dan telah memilih untuk membeli buku ini.
Ini memang terjadi... Ada kesalahan ketik yang cukup besar! Baris ketiga dan kolom ketiga, seharusnya angka 1, namun secara keliru tertulis angka 0. Koreksi ini akan dikirim ke semua pihak dalam beberapa hari ke depan.
Di sisi lain, simbol = dan || berada di diagonal: garis ganda yang dilihat dari satu diagonal memberi simbol =, sedangkan dari diagonal lainnya memberi || yang harus dipahami sebagai "berbeda", di tempat-tempat tersebut.
Dengan harapan hal ini memungkinkan Anda melanjutkan membaca dengan benar, sekali lagi kami mengucapkan terima kasih yang paling tulus (dan permintaan maaf juga!), dan tetap siap membantu jika suatu saat Anda kembali mengalami keraguan... Atau kesalahan ketik baru!
Gambar 2.2, diganti dengan tabel di atas
Denis Seco de Lucena mengajak kita melakukan eksplorasi yang aneh, yang kemungkinan besar tidak akan membuat pembaca keluar tanpa cedera. Mari mulai dengan meninjau bahasa, yang merupakan pendekatan setiap logikawan. Penulis mengusulkan untuk memperkenalkan apa yang disebut konsep
transversalitas.
Dalam perspektif ini, semua pernyataan, apa pun bentuknya, dapat dijabarkan dalam empat bentuk simetris berpasangan, terdiri dari "dua pasangan simetris". Banyak contoh ada dalam bahasa, tetapi "pernyataan keempat" kadang sulit dirumuskan, bahkan tidak sesuai dengan kategori yang ada dalam bahasa.
Mari kita mulai dengan contoh di mana "transversalitas" ini jelas terlihat. Ambil contoh konsep gerakan. Ada empat cara untuk "bergerak":
Maju
Mundur
Tidak bergerak
Bergerak
Kita langsung melihat adanya pasangan-pasangan dengan simetri mereka. Mundur adalah kebalikan dari maju, dan sebaliknya. Bergerak adalah kebalikan dari tidak bergerak, dan sebaliknya.
Jika kita merujuk pada topologi, kita akan memperkenalkan empat keterangan atau frasa keterangan:
Luar
Dalam
Di batas
Di tempat lain
29 Februari 2010
: Teman saya Jacques Legalland menyarankan agar pernyataan keempat lebih baik dirumuskan sebagai:
Luar
Dalam
Di batas
Tak ada tempat
Jika kita merujuk pada warna:
Putih
Hitam
Abu-abu
Bercorak
27 Februari 2010: Jie menyarankan:
Putih
Hitam
Abu-abu
Transparan
Dengan memainkan waktu:
Sebelum
Setelah
Sekarang
Tidak pernah
Kata keterangan "tidak pernah" merupakan setara temporal dari frasa keterangan "tak ada tempat" (lihat di atas).
Cara berpikir ini mengingatkan saya pada teks Ummite tentang logika yang, jika saya tidak salah ingat, menyebutkan empat nilai kebenaran:
Benar
Salah
Benar dan Salah
Tidak dapat diterjemahkan
Jika kita kembali ke nilai kebenaran logika tetra-valensi klasik:
Benar
Salah
Benar dan Salah
Bukan Benar maupun Salah
27 Februari 2010: Nilai keempat sebaiknya diinterpretasikan ulang sebagai "tidak sesuai dengan jenis klasifikasi ini":
Benar
Salah
Benar dan Salah
Tidak sesuai dengan jenis klasifikasi ini
Ambil bilangan real. Kita punya:
Positif
Negatif
Nol (dalam arti positif dan negatif)
Pernyataan keempat bisa menjadi:
Positif
Negatif
Nol (dalam arti positif dan negatif)
Imajiner
Beralih ke implikasi:
Mengimplikasikan
Diuji oleh
Kontingensi terhadap
Tidak berhubungan dengan
Kita melihat bahwa muncul empat cara "mengatakan", yang berbeda dari logika tetra-valensi "klasik" seperti yang disebutkan sebelumnya. Simetri dua pernyataan terakhir berbeda. Penulis mengusulkan untuk menyebut pasangan pernyataan, kualifikasi ini sebagai "transversal".
Cara kami menyajikan hal ini tidak sesuai dengan cara yang digunakan penulis dalam bukunya, yang saya anjurkan Anda baca. Namun segera Anda akan bertanya, "Apa yang tersembunyi di balik ini?" Pertanyaan ini akan membawa Anda jauh ke depan. Penulis, seorang ilmuwan, menemukan titik awalnya dari surat yang saya terima pada tahun 1992 dari para penulis misterius yang menyebut diri mereka "Ummite", surat yang dikirimkan dari Riyadh, Arab Saudi. Bagi yang tidak mengetahui kisah ini, penting untuk mengingat konteksnya. Dalam kumpulan dokumen yang dibawa dari Spanyol sejak pertengahan tahun 1970-an, penulis teks-teks ini sangat menekankan perlunya meninggalkan logika Aristoteles dan beralih ke
logika tetra-valensi.
Selama bertahun-tahun, saya berusaha keras dengan berbagai upaya. Pada tahun 1992 saya memiliki Mac Intosh generasi pertama yang berjalan pada 2 MHz, dan tentu saja tanpa modem atau cara komunikasi lain ke luar. Dalam komputer ini, saya mencatat refleksi-refleksi yang hanya diketahui oleh saya sendiri. Tertarik oleh teorema Gödel, saya teringat bahwa teorema ini didasarkan pada aritmetika (manipulasi bilangan bulat alami), yang diasumsikan pada akhir abad lalu oleh matematikawan Peano. Matematikawan Gauss pada masanya menciptakan apa yang sekarang disebut "bilangan Gauss", yaitu bilangan kompleks dengan nilai bilangan bulat.
Saya menyadari bahwa bilangan-bilangan Gauss ini secara klasik dianggap sebagai pasangan bilangan bulat alami (a, b), dan tidak ada aksioma yang pernah dicoba untuk membangunnya selain dengan menentukan "dua bilangan".
Beberapa hari setelah menyimpan refleksi-refleksi ini ke dalam hard disk saya, saya terkejut menerima surat dari Arab Saudi yang menyebutkan refleksi-refleksi yang sama.
Isi surat ini
Ternyata Denis, yang merupakan ilmuwan, menemukan titik awal dari pendekatan selama sepuluh tahun dalam buku yang baru saja ia terbitkan. Mengingat sumbernya yang eksotis, bahkan bisa dibilang kontroversial, dapat dimengerti mengapa ia memilih untuk menerbitkannya dengan nama samaran.
Saya tidak tahu apakah Anda ingat sebuah buku Jules Verne: Perjalanan ke Pusat Bumi, di mana para tokoh utama bermain-main dengan pesan misterius yang ditinggalkan oleh Aarne Saknudsen. Dengan menggabungkan elemen-elemen ini, mereka akhirnya menemukan jalan menuju pusat Bumi. Jadi bersiaplah, dalam buku Denis, untuk sesuatu yang serupa.
Ia bukan orang pertama yang mencoba petualangan ini, tetapi hingga kini semua upaya terbukti tidak produktif, meskipun kadang tampak menarik. Saya berpikir tentang usaha Kanada Norman Mohlant di situs ummo.science. Seorang matematikawan akan berkata "kita bisa membuat aljabar tak hingga", dan main-main dengannya seperti bermain dengan balok Lego. Membuat elemen baru dari Lego adalah hal yang lain.
Di mana letak "lebih" dalam karya Denis?
Ia mulai dengan menemukan, di jejak yang ditunjukkan dalam surat dari Riyadh, jalan menuju objek matematika yang ditemukan pada tahun 1843 oleh matematikawan Irlandia Hamilton: yaitu
kuaternion.
Kuaternion biasanya ditemukan dalam buku-buku dalam bentuk perluasan bilangan kompleks:
Q = a + b i + c j + d k
dengan
i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k, i j² = k
j i = - j i (anti-komutatif)
j k = i, j k = - k j
k i = j, k i = - i k
Produk-produk ini bersifat
anti-komutatif.
Ketika Hamilton menemukan kuaternion ini dan menemukan luasnya sifat-sifatnya, ia begitu terpesona oleh penemuannya sehingga berkata:
"Semua ini pasti harus memiliki aplikasi dalam fisika, tapi siapa tahu mana?"
Tentu saja ia tidak bisa membayangkan bahwa hubungan ini akan terbukti dengan munculnya Mekanika Kuantum. Faktanya, misalnya, matriks Pauli adalah kuaternion.
Penulis menunjukkan bagaimana pertimbangan murni geometris memungkinkan, berdasarkan isi surat, untuk menuju konstruksi geometris kuaternion (melalui "bidang kompleks dengan dua sisi ortogonal"). Buku ini berjudul "Rahasia Surat Riyadh". Rahasia ini dibahas di sini. Dalam surat itu dibahas teorema terkenal Fermat, yang menyatakan bahwa persamaan bilangan bulat
a^n = b^n + c^n
hanya memiliki solusi untuk n kurang dari atau sama dengan 2.
Matematikawan Lagrange adalah penulis teorema serupa, yang sebelumnya juga diajukan oleh Fermat sebagai dugaan, yaitu bahwa setiap bilangan bulat merupakan jumlah dari empat kuadrat.
N (bilangan bulat sembarang) = a² + b² + c² + d²
Harus termasuk nol di antara bilangan-bilangan ini, sehingga:
3 = 1² + 1² + 1² + 0²
Bukti setelah Lagrange menggunakan kuaternion, dengan argumen induksi.
Saya sangat ingin Denis menemukan bukti teorema Lagrange menggunakan kuaternion, dan memasukkannya ke situsnya.
Ambil sebuah kuaternion:
Q = (a, b, c, d)
Kita mendefinisikan konjugatnya sebagai:
konjugat dari Q = Q (a, -b, -c, -d)
Denis mengemukakan dugaan bahwa teorema Fermat, dalam bentuk yang diajukan oleh Fermat, merupakan hasil bawah dari penulisan kuaternionik, di mana persamaan:
(Q₁Q₁)^n = (Q₂Q₂)^n + (Q₃Q₃)^n
dengan kuaternion memiliki komponen bilangan bulat, hanya memiliki solusi untuk n kurang dari atau sama dengan 2.
27 Februari 2010: Saya perhatikan bahwa kedua pernyataan ini setara, karena modulus kuaternion (a, b, c, d) adalah a² + b² + c² + d², yaitu
bilangan bulat
berdasarkan teorema Lagrange.
Kerangka ini mungkin menakutkan pembaca biasa. Namun pada kenyataannya, keseluruhan buku tetap sangat mudah dipahami. Banyak contoh transversalitas yang diberikan merupakan permainan dengan bahasa yang sangat menghibur dan merangsang, dan pembaca dapat bersenang-senang mencari contoh lain semacam ini. Skema geometrisnya juga sangat mudah dibaca.
Buku ini tampaknya menjadi batu pertama dari konstruksi yang lebih luas, membuka jalan menuju pemikiran yang berbeda.
Untuk memesan buku (18 euro termasuk ongkos kirim, 144 halaman):
2 Maret 2009:
Seorang pembaca, Tuan Christian Pedro, memberikan PDF yang berisi bukti teorema empat kuadrat Lagrange.
Teorema Empat Kuadrat Lagrange
Catatan lain: hasil kali modulus dua kuaternion sama dengan modulus hasil kali mereka. Bukti oleh matematikawan Euler (1750).
(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =
(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² +
(a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² +
(a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² +
(a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²
Ini berarti modulus hasil kali dua kuaternion:
A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)
adalah modulus dari kuaternion:
C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄,
a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃,
a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃,
a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)
Tuan Pedro meragukan bahwa pendekatan berbasis kuaternion bisa menghasilkan bukti yang relatif sederhana (dibandingkan dengan bukti Wiles yang mencakup ratusan halaman!). Padahal ribuan matematikawan telah gagal menyelesaikan masalah ini.
Saya tidak punya pendapat. Tapi saya akan membuat dua catatan.
Kita tahu bahwa bilangan bulat alami dapat ditulis dalam basis apa pun, khususnya bilangan prima tetap mempertahankan sifat ini, terlepas dari basis mana mereka ditulis. Jadi mengapa tidak menggunakan basis paling sederhana: basis dua, dengan dua elemen: 0 dan 1.
Matematikawan Italia Giuseppe Peano (1858–1932) memberikan
lima aksioma
yang menjadi dasar aritmetika bilangan bulat alami.
Matematikawan Italia Giuseppe Peano
Elemen yang disebut nol dan dilambangkan: 0, adalah bilangan bulat alami.
Setiap bilangan bulat alami n memiliki satu suksesor unik, dilambangkan s(n) atau Sn.
Tidak ada bilangan bulat alami yang memiliki 0 sebagai suksesor.
Dua bilangan bulat alami dengan suksesor yang sama adalah sama.
Jika suatu himpunan bilangan bulat alami memuat 0 dan memuat suksesor dari setiap anggotanya, maka himpunan tersebut sama dengan N.
Aksioma pertama memungkinkan kita menyatakan bahwa himpunan bilangan bulat alami tidak kosong, aksioma ketiga menunjukkan adanya elemen pertama, dan aksioma kelima menunjukkan keberlakuan prinsip induksi.
Berdasarkan lima aksioma ini, aritmetika Peano mengarah pada logika tingkat pertama, yang tidak terhindar dari
teorema ketidaklengkapan Gödel.
Apa yang mendorong pengiriman surat dari Riyadh adalah pernyataan saya tentang bilangan Gauss z = a + i b, di mana a dan b adalah bilangan bulat alami.
Saya merasa bahwa tidak ada aksioma khusus untuk aritmetika bilangan Gauss ini, yang tampaknya dibangun dengan "dua kali aritmetika Peano", yang berbeda.
Dalam perspektif ini, bilangan Gauss bukan lagi "titik-titik pada kisi teratur", melainkan menjadi
pasangan titik (a, b) yang diambil dari garis-garis terpotong. Aritmetika bilangan Gauss menjadi "dua kali aritmetika Peano".
Sekarang saya mengajukan pertanyaan:
Apakah ada himpunan aksioma yang mendefinisikan aritmetika kuaternion bulat? Jika ya, logika apa yang seharusnya kita dapatkan? Apakah logika ini tetra-valensi? Dan apakah secara kebetulan... lengkap, yang berarti di luar empat nilai kebenaran ini tidak ada nilai kebenaran kelima, yaitu pernyataan yang tidak dapat ditentukan dan tidak masuk dalam empat kasus yang membentuk saringan logika empat nilai kebenaran?
Saya tidak bisa terlibat dalam diskusi tentang pertanyaan-pertanyaan ini dengan pembaca, karena saya sangat sibuk menyusun album baru yang didedikasikan untuk mekanika fluida. Untuk pertanyaan semacam ini, silakan hubungi penulis buku, Denis.
Namun demikian, saya akan menunjukkan dalam album ini bahwa bahkan pada akhir tahun 1950-an (saat saya mahasiswa di Ecole Nationale Supérieure de l'Aéronautique di Paris), beberapa konsep yang kini
sudah sepenuhnya terintegrasi dalam dunia penerbangan
baik sipil maupun militer, dianggap oleh para profesor saya melanggar hukum fisika.
Saya juga akan menyebutkan pernyataan seorang Couturier, yang kini menurut saya adalah direktur Observatorium Paris, yang pada tahun 1976 berkata kepada saya tentang teori saya tentang penghilangan gelombang kejut oleh gaya Laplace:
"Ini tidak masuk akal. Gelombang kejutmu harus tetap ada di suatu tempat."
Matematika, seperti fisika, mungkin bisa menghasilkan kelinci baru dari topi berlapis ganda yang sebelumnya sudah dianggap telah dieksplorasi secara menyeluruh.
Update
Panduan
Halaman Depan