Putaran Bola dan Imersi Botol Klein
Putaran Bola
7 Desember 2004
halaman 1
Pendahuluan.
Dalam pembahasan berikut, kita akan mempertimbangkan permukaan tertutup, seperti bola, torus, dan beberapa lainnya. Permukaan- permukaan ini merupakan permukaan dalam pengertian yang dimengerti oleh orang awam, yaitu objek berdimensi dua yang direpresentasikan dalam ruang Euclidean tiga dimensi, R3, yang merupakan ruang mental representasi kita. Permukaan- permukaan ini dapat direpresentasikan dalam beberapa cara. Jika permukaan tersebut tidak memotong dirinya sendiri, maka kita mengatakan bahwa permukaan tersebut tenggelam (dalam R3). Jika permukaan tersebut memotong dirinya sendiri, maka kita menyebutnya immersi, dan perpotongan ini akan ditandai dengan adanya himpunan interseksi diri (self-intersection).
Dalam penggambaran kita, kita mengasumsikan bahwa bidang singgung berubah secara kontinu dan permukaan tidak memiliki singularitas seperti puncak kerucut. Permukaan- permukaan kita bersifat reguler.
Dalam kasus imersi, kita mengharapkan bahwa sepanjang garis interseksi diri, dua bidang singgung dari dua lembaran yang saling berpotongan harus berbeda.
Dunia geometri, seperti yang dipahami oleh matematikawan, cukup berbeda dari dunia fisik. Fakta bahwa permukaan dapat menembus dirinya sendiri tidak mengganggu sama sekali. Dunia fisik tidak memungkinkan hal semacam itu. Namun, hal ini menjadi mungkin dalam dunia metafisik. Dalam Alkitab, disebutkan bahwa ketika orang-orang mati dibangkitkan, mereka akan berbentuk "tubuh kemuliaan". Mereka kemudian dapat menembus apa saja dan secara prinsip dapat menembus dirinya sendiri. Jadi, ketika waktu Penghakiman Terakhir tiba, jika Anda berjalan di Roma dalam bentuk tubuh kemuliaan, dan Anda tersesat mencari Piazza Navona, Anda mungkin tergoda untuk menanyakan arah kepada orang lain yang telah dibangkitkan, yang tampak serupa dengan Anda. Misalkan orang yang Anda tanya sedang berjalan ke arah yang berlawanan terhadap tempat tersebut. Dalam ruang fisik biasa, untuk menunjukkan arah yang benar, ia harus berputar pada dirinya sendiri agar jari telunjuknya menunjuk ke arah yang benar. Namun, jika ia berjalan dalam bentuk tubuh kemuliaan, putaran ini tidak lagi diperlukan. Ia dapat menunjuk jari telunjuknya ke perutnya sendiri dan menembus dirinya sendiri. Ketika tangannya muncul kembali dari punggungnya, ia hanya perlu mengatakan kepada Anda, "ke sana." Dengan memasukkan lengannya melalui perutnya, ia telah menciptakan himpunan interseksi diri dalam tubuhnya berupa dua lingkaran, yang akan menghilang ketika ia kembali ke bentuk normalnya.
Jika seseorang menutup mulutnya, menempatkan jemari kancing pada hidungnya untuk menutupnya, dan mengabaikan lubang alami lainnya, maka kulit tubuhnya akan memiliki topologi bola S2. Bayangkan seseorang yang telah dibangkitkan dalam bentuk tubuh kemuliaan dengan lubang alami yang telah ditutup. Kita tahu bahwa ia dapat menembus dirinya sendiri, artinya kulit tubuhnya dapat berubah dari kondisi tenggelam menjadi kondisi imersi. Salah satu masalah metafisika yang muncul adalah apakah seseorang yang telah dibangkitkan dalam bentuk tubuh kemuliaan dapat membalikkan dirinya tanpa membuat lipatan.
Sedikit catatan: para pesulap tahu bagaimana menggunakan "lingkaran ajaib" yang dapat saling menembus secara ajaib. Kita dapat membayangkan merepresentasikan permukaan menggunakan semacam "kawat ajaib" sehingga dua lembaran, yang digambarkan di sini masing-masing dalam warna hitam dan merah muda, dapat saling menembus tanpa kesulitan.
Kawat ajaib
Bagaimanapun, harus diakui bahwa seringkali tidak banyak perbedaan antara matematika dan sihir. Dua puluh tahun yang lalu saya menciptakan sebuah komik: Topologicon. Kini komik ini sudah habis terbit dan sulit ditemukan, kecuali sebagai koleksi. Di salah satu halaman, terdapat gambar ini:
Sangat disesalkan bahwa penerbit Belin memutuskan untuk menghentikan koleksi ini. Harus diakui bahwa dengan biaya produksi hanya sedikit lebih dari satu euro, menjual album seharga 13 euro (ditambah ongkos kirim), melalui penjualan langsung, dengan margin keuntungan 12 euro—artinya keuntungan melebihi 92 persen dari harga jual—tidak sesuai dengan strategi bisnis yang jelas, terutama untuk karya hitam-putih.
Pertimbangkan bola S2 yang tenggelam dalam R3. Kita asumsikan bahwa permukaan luar berwarna abu-abu dan bagian dalam berwarna merah muda tua. Kita bisa menekan dua titik antipodal, yang kita sebut secara sembarang "kutub utara" dan "kutub selatan", hingga keduanya menyentuh pada satu titik. Ini bisa dilakukan, misalnya, dengan donat. Ketika membicarakan donat matematis (kita tidak tahu apakah donat juga dibangkitkan dalam bentuk tubuh kemuliaan), kedua daerah kutub, setelah menyentuh pada satu titik, dapat menembus dirinya sendiri melalui kurva interseksi diri yang membentuk lingkaran. Secara awal, kita katakan bahwa permukaan ini mengalami bencana jenis Do.
Kemudian kita mungkin tergoda untuk mencoba membalik donat, bola, dengan melanjutkan proses ini. Namun, akan muncul lipatan yang kemudian menjadi lipatan buruk, atau lebih tepatnya permukaan lipatan (figure d).
Pada akhir tahun 1950-an, pertanyaan penting tentang apakah kita bisa membalik donat metafisik tanpa membuat lipatan masih belum terjawab. Sebenarnya, semua orang mengira hal ini benar-benar mustahil. Namun, pada tahun 1957 seorang matematikawan, Stephen Smale (yang kemudian menerima medali Field, tetapi untuk pekerjaan lain), membuktikan bahwa berbagai imersi bola S2 dalam R3 membentuk satu himpunan tunggal, dan selalu mungkin menemukan rangkaian deformasi kontinu imersi (yang juga disebut homotopi teratur) untuk berpindah dari satu kondisi ke kondisi lain. Akibatnya, kita harus bisa berpindah melalui rangkaian imersi kontinu dari penggambaran standar bola S2 ke penggambaran antipodal. Dalam istilah yang lebih sederhana: kita harus bisa membalik bola tanpa membuat lipatan, asalkan bola diperbolehkan membalik dirinya sendiri.
Pembimbing Smale bernama Raoul Bott. Ia bertanya kepada muridnya bagaimana cara melakukannya, dan Smale menjawab bahwa ia tidak tahu sama sekali, tetapi teoremanya benar-benar tak tergoyahkan. Smale tidak melihat secara visual, tetapi ia tidak peduli (seperti kebanyakan ahli geometri). Dan, jika kita jujur, setelah membuktikan teoremanya, ia sama sekali tidak peduli bagaimana cara mewujudkan hal ini secara konkret, dan segera beralih ke topik lain, meninggalkan rekan-rekan matematikawan dalam kebingungan besar. Saya merasa ini tidak terlalu baik—menciptakan masalah seperti itu dan kemudian membiarkan orang lain mencari solusinya sepuluh tahun kemudian.
Harus diakui bahwa sangat sulit membayangkan imersi dalam pikiran. Namun, kita tahu bahwa ada permukaan yang hanya bisa direpresentasikan dalam R3 dengan cara ini. Misalnya, botol Klein.
Botol Klein
Di sini, botol Klein digambarkan dengan sistem kisi-kisi yang terdiri dari dua himpunan kurva tertutup, seperti torus. Dengan cara ini, kita bisa mengisi botol Klein dengan kisi tanpa menciptakan singularitas kisi. Namun, seperti yang bisa dilihat, permukaan ini harus menembus dirinya sendiri melalui kurva tertutup, yaitu lingkaran. Karena itu, botol Klein tidak bisa tenggelam dalam R3. Saya sudah mencobanya, tidak berhasil. Kita hanya bisa mengimernya. Berkat kemampuan menggambar saya, Anda bisa mendekati representasi objek ini. Namun, ketika harus membalik bola, kita harus mempertimbangkan konfigurasi yang jauh lebih kompleks. Cara merepresentasikannya tidaklah mudah. Beberapa orang menggunakan tanah liat. Ketika melihat mereka berdiskusi dalam konferensi, mereka biasanya pergi ke tempat terpisah dan membuka kotak sepatu atau kotak topi di depan rekan-rekannya, yang berisi objek-objek yang agak mengerikan. Gambar di atas menggambarkan cara paling mudah untuk membuat dan memanipulasi objek-objek ini: menggunakan "kawat tembaga", paduan yang cukup lentur sehingga bisa dilipat tanpa kesulitan, tetapi tetap mempertahankan elastisitasnya. Cara terbaik adalah membuat titik pertemuan garis dengan memasang batang berdiameter 2 mm (kami merekomendasikan batang dengan diameter 2 mm), yang diikat dengan kawat. Keuntungannya adalah kita bisa menggesernya, setidaknya hingga kita merasa objek telah mencapai bentuk akhir. Setelah itu, kita bisa menghilangkan geseran dengan menempelkan lem.
Dalam praktiknya, sangat jarang kita harus menggunakan botol Klein. Berikut ini adalah foto botol Klein yang saya gunakan untuk kebutuhan pribadi saya.
Objek-objek ini, selama kita memiliki rasa bentuk, cukup indah. Saya pernah membuat beberapa di antaranya ketika saya menjadi profesor seni patung di École des Beaux-Arts di Aix-en-Provence. Namun, sebelum saya menggunakan teknik ini, ada banyak percobaan yang melibatkan campuran kawat lunak dan kardus, menghasilkan hasil yang estetikanya sangat diragukan. Saya masih ingat suatu hari saya harus naik kereta dari Marseille ke Paris membawa beberapa permukaan yang berhasil saya representasikan secara cukup jelas untuk teman saya yang telah meninggal, matematikawan André Lichnérowicz. Di antaranya adalah permukaan Boy yang saya tempelkan peta dunia berpusat pada satu kutub. Akhirnya menghasilkan objek yang sangat indah, yang dipajang selama dua puluh tahun di ruang pi di Palais de la Découverte di Paris. Namun, setahun lalu, pimpinan museum menganggap permukaan ini sudah tidak lagi modis, dan kini tergeletak di gudang atau ruang bawah tanah. Saya berharap ia tidak rusak saat pengiriman. Semua ini untuk mengatakan bahwa Anda kini tidak akan bisa melihat permukaan Boy di mana pun, kecuali dalam buku, atau dalam CD-ROM yang berisi 18 komik ilmiah saya dalam format PDF, termasuk Topologicon. Cara mendapatkan CD-ROM ini.
Tetapi kembali ke perjalanan yang saya lakukan dari Marseille ke Paris. Saya sudah terlalu banyak membawa dua koper, dan saya memutuskan membawa tiga model. Satu-satunya solusi adalah menggantungkannya di leher saya. Namun, ketika saya melewati halaman stasiun dan melihat bagaimana orang-orang menatap saya, saya menyadari bahwa mereka mengira saya orang gila yang mendapat izin keluar dari rumah sakit jiwa. Sungguh sia-sia mencoba menjelaskan yang sebenarnya, dan saya harus menanggung penderitaan ini dengan sebaik mungkin.
Yang lucu adalah bahwa orang-orang yang membuat benda-benda semacam ini cukup langka. Di Amerika ada seorang matematikawan bernama Charles Pugh, yang bekerja di Departemen Matematika Universitas Berkeley. Saya akan membahasnya lagi nanti. Pugh sangat hebat dalam membuat kawat untuk ayam, tetapi secara pribadi saya lebih suka teknik kawat tembaga.
Kembali ke masalah membalik bola. Orang pertama yang berhasil menyelesaikan masalah ini adalah ahli geometri Anthony Phillips. Ia menerbitkan karyanya, yaitu rangkaian gambar, dalam edisi Scientific American tahun 1967. Ada beberapa cara untuk membalik bola. Salah satunya adalah membawa setiap titik pada bola agar berimpit dengan titik antipodanya. Dalam proses ini, bola akan berbentuk permukaan Boy. Saya selalu bermimpi menemukan sponsor untuk membuat patung indah yang merepresentasikan bola dunia yang dilipat menjadi permukaan Boy. Karena tidak bisa membangun objek tersebut, saya membuat ilustrasi sampul Topologicon:
Bola Dunia yang Direkatkan pada Diri Sendiri Menjadi Permukaan Boy
Dalam konfigurasi ini, jika Anda menggali lubang di kutub utara, Anda akan langsung muncul di sisi lain, yaitu kutub selatan, karena kedua titik tersebut antipodal. Seorang Prancis yang menggali lubang di ruang bawah tanahnya akan tiba di Selandia Baru, dan seterusnya.
Versi yang ditemukan oleh Anthony Phillips memang menggambarkan bagaimana bola berubah menjadi dua lembaran permukaan Boy, yang tentu saja merupakan permukaan satu sisi. Jika kita memiliki produk ajaib, traversine, yang memberi permukaan kemampuan menembus dirinya sendiri, cukup dengan menghubungkan setiap titik dengan titik antipodanya melalui kawat, lalu mengecilkan kawat hingga panjangnya nol. Jika kita tidak bisa dengan mudah merepresentasikan transformasi ini, kita tetap bisa memperhatikan bagian dari bola, misalnya lingkungan ekuatornya. Ini yang dilakukan dalam animasi berikut. Permukaan ini, yang memiliki dua tepi melingkar, menyerupai pelek sepeda. Tiga jari-jari digambarkan, terhubung ke titik-titik yang berseberangan. Dengan membuat panjang jari-jari ini mendekati nol, pita dua sisi ini akan berubah menjadi dua lembaran pita Möbius dengan tiga putaran. Berikut ini dua animasi yang agak kasar: yang kiri lambat, yang kanan cepat.
Pita Möbius dengan tiga putaran ini adalah "lingkungan ekuator" dari permukaan Boy. Di sinilah ekuator bola berputar.
"Ekuator" dari permukaan Boy
Sedangkan dua kutub bola berimpit pada satu kutub tunggal dari permukaan. Permukaan ini, seperti botol Klein, tidak bisa tenggelam dalam R3. Ia hanya bisa direpresentasikan dalam bentuk imersi. Dalam bentuk ini, ia memiliki himpunan interseksi diri yang berbentuk heliks tiga bilah, dengan ujung-ujungnya terlihat seperti "telinga" tiga "telinga". Pada halaman-halaman berikut, Anda akan menemukan beberapa elemen untuk lebih memahami permukaan ini. Jika ada masalah, dapatkan Topologicon.
Di bagian atas kiri, tampak permukaan Boy. Karena permukaan ini satu sisi, kita tidak bisa menggunakan dua warna. Di b, himpunan interseksi diri berbentuk tiga daun, mengingatkan pada bilah heliks di b. Kurva ini saling berpotongan di satu titik tiga kali, T. Gambar-gambar berikut membantu pembaca untuk memahami struktur ini.
Segala sesuatu dapat digunakan untuk menggambarkan struktur permukaan: pita, perakitan dengan bagian-bagian yang dipasang. Terlihat bahwa seorang seniman patung akan sangat senang dengan objek nyata yang sangat menarik ini. Sebuah catatan singkat tentang sejarahnya. Pada tahun 1901, seorang mahasiswa dari matematikawan besar Jerman, Hilbert, bernama Werner Boy, mengemukakan di hadapannya permukaan yang belum pernah dipikirkan siapa pun sebelumnya. Musim libur sudah dekat. Hilbert berkata kepada mahasiswanya:
- Masalah ini tampak menarik. Jika kamu mau, kembali ke sini setelah liburan, kita akan membahasnya.
Liburan berlalu, tetapi ketika musim kuliah dimulai, Boy tidak kembali. Setelah dua bulan, Hilbert mencoba mencarinya. Setelah mendapat alamat dari mahasiswa lain, ia pergi ke tempat tersebut. Namun, pemilik rumah menyatakan bahwa muda Werner Boy telah mengembalikan kunci sebelum musim panas dan tidak pernah kembali. Segala upaya mencari dia gagal, begitu juga mencari anggota keluarganya. Ia benar-benar menghilang. Jika Anda pergi ke Jerman, jangan berharap bisa mengunjungi makam penemu terkemuka ini: makamnya tidak ada.
Pada gambar terakhir, di bawah dan kanan, permukaan Boy digambarkan dalam warna putih, dan dua sisi bola yang membungkusnya digambarkan dengan warna abu-abu dan merah muda. Titik A dan A' adalah antipodal pada bola ini. Jelas bagaimana dua lembaran permukaan Boy dapat digunakan untuk membalik bola. Misalkan kita memiliki rangkaian transformasi, homotopi teratur, yang mengubah bola merah muda di luar, abu-abu di dalam, menjadi gambar di bawah dan kanan. Maka cukup dengan menukar dua lembaran (dengan membiarkan mereka menembus dirinya sendiri), termasuk titik A dan A', lalu melakukan transformasi yang sama tetapi dalam arah terbalik, untuk mencapai penggambaran antipodal bola ini, yang kali ini menampilkan warna abu-abu di luar.
Dalam logika yang sama, kita bisa mengharapkan bahwa torus dapat berubah menjadi dua lembaran dari ... botol Klein. Berikut ini bentuk dari dua lembaran tersebut.
Dua Lembaran Botol Klein
Jika kita berhasil membentuk torus dengan cara ini, cukup dengan menukar dua lembaran yang bersebelahan di sekitar botol Klein (yang tidak digambarkan di sini), lalu melakukan operasi terbalik untuk mendapatkan torus yang telah dibalik. Pekerjaan ini dipresentasikan dalam edisi Januari 1979 Pour la Science dalam artikel yang ditandatangani B. Morin dan J.P. Petit. Saya menangani bagian gambar, dan Morin menangani teks. Meskipun ia menyebutkan banyak orang dalam makalah ini, ia melupakan saya, serta lupa menyebutkan bahwa saya adalah penemu bagian pekerjaan ini, yang terdapat di halaman 46 dan 47. Namun, hal seperti ini terjadi ketika bekerja erat dengan rekan. Anda tahu bagaimana: kita terbiasa dengan kehadirannya selama bertahun-tahun, dan begitu peduli untuk tidak melupakan siapa pun, akhirnya kita lupa dia, seolah-olah dia bagian dari perabot rumah. Untuk detail lebih lanjut, pekerjaan ini diterbitkan di bawah nama saya dalam Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris pada 20 November 1978, dengan judul "Retournement non-trivial torus", artikel ini disampaikan oleh Akademisi André Lichnérowicz.
Kembali ke Panduan [Kembali ke