Putaran Bola dan Imersi Botol Klein
Putaran Bola
7 Desember 2004
halaman 1
Pendahuluan.
Dalam pembahasan berikut, kita akan mempertimbangkan permukaan tertutup seperti bola, torus, dan beberapa lainnya. Permukaan- permukaan ini merupakan permukaan dalam arti yang dimengerti oleh orang awam, yaitu objek berdimensi dua yang direpresentasikan dalam ruang Euclidean tiga dimensi, R3, yang merupakan ruang mental kita untuk representasi. Permukaan- permukaan ini dapat direpresentasikan dalam beberapa cara. Jika permukaan tidak saling memotong dirinya sendiri, kita menyebutnya tenggelam (dalam R3). Jika permukaan saling memotong, maka kita menyebutnya immersi, dan perpotongan ini akan tercermin sebagai keberadaan himpunan interseksi diri (self-intersection).
Dalam penggambaran kita, kita mengasumsikan bahwa bidang singgung berubah secara kontinu dan permukaan tidak memiliki singularitas seperti puncak kerucut. Permukaan- permukaan kita bersifat reguler.
Dalam kasus imersi, kita menuntut bahwa sepanjang garis-garis interseksi diri, dua bidang singgung dari dua lembaran yang berpotongan harus berbeda.
Dunia geometri, seperti yang dipahami oleh matematikawan, cukup berbeda dari dunia fisik. Fakta bahwa permukaan bisa menembus dirinya sendiri tidak menjadi masalah. Dunia fisik tidak memungkinkan hal semacam itu. Namun, hal ini menjadi mungkin dalam dunia metafisik. Dalam Alkitab, dikatakan bahwa ketika orang-orang mati dibangkitkan, mereka akan muncul dalam bentuk "tubuh kemuliaan". Mereka kemudian dapat menembus apa saja dan secara prinsip mampu menembus dirinya sendiri. Jadi, ketika waktu Penghakiman Terakhir tiba, jika Anda berjalan di Roma dalam bentuk tubuh kemuliaan, tersesat dan mencari Piazza Navona, Anda mungkin tergoda untuk menanyakan arah kepada orang lain yang telah dibangkitkan, yang tampaknya sama dengan Anda. Bayangkan orang yang Anda tanya berjalan ke arah yang berlawanan dari tempat tersebut. Dalam ruang fisik biasa, untuk menunjukkan arah yang benar, ia harus berputar pada dirinya sendiri agar jari telunjuknya menunjuk ke arah yang dimaksud. Namun, jika ia berjalan dalam bentuk tubuh kemuliaan, rotasi ini tidak lagi diperlukan. Ia bisa menunjuk jari telunjuknya ke pusar dan menembus dirinya sendiri. Ketika tangannya muncul kembali dari punggungnya, ia hanya perlu mengatakan kepada Anda "ke arah sana". Dengan memasukkan lengannya melalui perutnya, ia telah menciptakan dalam kulit tubuhnya himpunan interseksi diri yang terdiri dari dua lingkaran, yang akan menghilang ketika ia kembali ke bentuk normalnya.
Jika seseorang menutup mulutnya, menempatkan jepit kertas di hidungnya untuk menutupnya, dan mengabaikan lubang-lubang alami lainnya, maka kulit tubuhnya akan memiliki topologi bola S2. Bayangkan seseorang yang dibangkitkan dalam bentuk tubuh kemuliaan dengan lubang-lubang alami yang ditutup. Kita tahu bahwa ia dapat menembus dirinya sendiri, artinya kulit tubuhnya dapat berubah dari keadaan tenggelam menjadi keadaan imersi. Salah satu masalah metafisik yang muncul adalah apakah seseorang yang dibangkitkan dalam bentuk tubuh kemuliaan dapat membalikkan dirinya tanpa membuat lipatan.
Sekilas catatan. Para pesulap tahu bagaimana menggunakan "lingkaran ajaib" yang dapat saling menembus "secara ajaib". Kita dapat membayangkan merepresentasikan permukaan dengan semacam "kawat ajaib" sehingga dua lembaran, yang digambarkan di sini dengan warna hitam dan merah muda, dapat saling menembus tanpa kesulitan.
Kawat Ajaib
Bagaimanapun, harus diakui bahwa seringkali tidak banyak perbedaan antara matematika dan sihir. Dua puluh tahun lalu saya membuat sebuah komik: Topologicon. Kini komik tersebut sudah habis terjual dan sulit ditemukan, kecuali sebagai koleksi. Di salah satu halaman, terdapat gambar seperti ini:
Sangat disesalkan bahwa penerbit Belin memutuskan untuk menghentikan koleksi ini. Harus diakui bahwa dengan biaya produksi hanya sedikit lebih dari satu euro, menjual album seharga 13 euro (ditambah ongkos kirim), melalui penjualan langsung, dengan margin keuntungan 12 euro—artinya keuntungan lebih dari 92 persen dari harga jual—tidak sesuai dengan strategi komersial yang jelas, terutama untuk karya hitam-putih.
Pertimbangkan bola S2 yang tenggelam dalam R3. Kita asumsikan permukaan luarnya abu-abu dan bagian dalamnya berwarna krem tua. Kita bisa menekan dua titik antipoda, yang kita sebut secara sembarangan "kutub utara" dan "kutub selatan", hingga saling bersentuhan di satu titik. Ini bisa dilakukan, misalnya, dengan menggunakan roti donat. Ketika membicarakan donat matematis (kita tidak tahu apakah donat juga dibangkitkan dalam bentuk tubuh kemuliaan), dua daerah kutub, setelah bersentuhan di satu titik, dapat saling menembus sepanjang kurva interseksi diri yang membentuk lingkaran. Secara dini, kita katakan bahwa permukaan ini mengalami bencana jenis Do.
Kemudian, kita mungkin tergoda untuk mencoba membalik donat, bola, dengan melanjutkan operasi ini. Namun, akan muncul lipatan yang kemudian berubah menjadi lipatan buruk, atau lebih tepatnya permukaan pembalikan (gambar d).
Pada akhir tahun 1950-an, pertanyaan serius tentang apakah donat metafisik bisa dibalik tanpa membuat lipatan masih belum terjawab. Sebenarnya, semua orang berpikir hal ini benar-benar mustahil. Namun, pada tahun 1957 seorang matematikawan, Stephen Smale (yang kemudian menerima medali Field, tetapi untuk pekerjaan lain), membuktikan bahwa berbagai imersi bola S2 dalam R3 membentuk satu himpunan tunggal, dan selalu mungkin menemukan rangkaian deformasi kontinu imersi (yang juga disebut homotopi teratur) yang memungkinkan perpindahan dari satu keadaan ke keadaan lain. Akibatnya, kita harus bisa berpindah melalui rangkaian imersi kontinu dari penggambaran standar bola S2 ke penggambaran antipodal. Dalam istilah yang lebih sederhana: kita harus bisa membalik bola tanpa membuat lipatan, asalkan kita memungkinkan bola itu membalik dirinya sendiri.
Pembimbing Smale bernama Raoul Bott. Ia menanyakan kepada muridnya bagaimana cara melakukannya, dan Smale menjawab bahwa ia tidak tahu sama sekali, tetapi teoremanya benar-benar tak tergoyahkan. Smale tidak melihat dalam ruang, tetapi ia tidak peduli (seperti kebanyakan ahli geometri). Dan, jika kita jujur, setelah membuktikan teoremanya, ia tertawa terbahak-bahak terhadap cara bagaimana orang bisa mewujudkannya, dan segera beralih ke topik lain, meninggalkan rekan-rekan matematikawan dalam kebingungan terbesar. Saya merasa ini tidak terlalu baik—menciptakan masalah seperti itu dan kemudian membiarkan orang lain mencari solusinya sepuluh tahun kemudian.
Harus diakui bahwa sangat sulit membayangkan imersi dalam pikiran. Namun, kita tahu ada permukaan yang hanya bisa direpresentasikan dalam R3 dengan cara ini. Misalnya, botol Klein.
Botol Klein
Di sini, botol Klein digambarkan dengan sistem kisi-kisi yang terdiri dari dua himpunan kurva tertutup, seperti torus. Dengan cara ini, botol Klein dapat dipetakan tanpa menciptakan singularitas kisi. Namun, seperti yang bisa dilihat, permukaan ini harus saling menembus sepanjang kurva tertutup, yaitu lingkaran. Karena itu, botol Klein tidak bisa tenggelam dalam R3. Saya sudah mencobanya, tidak berhasil. Kita hanya bisa mengimernya. Berkat kemampuan menggambar saya, Anda bisa agak membayangkan objek ini. Namun, ketika harus membalik bola, kita harus mempertimbangkan konfigurasi yang jauh lebih rumit. Cara merepresentasikannya tidaklah mudah. Beberapa menggunakan tanah liat. Ketika melihat mereka berdiskusi di konferensi, mereka biasanya berpindah ke tempat terpisah, lalu membuka kotak sepatu atau kotak topi di depan rekan-rekannya, yang berisi objek-objek yang lebih atau kurang menyeramkan. Gambar di atas menggambarkan cara paling mudah untuk membuat dan memanipulasi objek-objek ini: menggunakan "kawat tembaga", paduan yang cukup lentur sehingga bisa dilipat tanpa kesulitan, namun tetap mempertahankan elastisitasnya. Cara terbaik adalah membuat titik-titik pertemuan garis (kami merekomendasikan batang berdiameter 2 mm) dan mengikatnya dengan kawat. Keuntungannya adalah kita bisa menggesernya, setidaknya hingga kita merasa objek telah mencapai bentuk akhir. Setelah itu, kita bisa menghentikan geseran dengan menempelkan sedikit lem.
Dalam praktiknya, sangat jarang kita harus menggunakan botol Klein. Berikut ini foto botol Klein yang saya gunakan untuk kebutuhan pribadi saya.
Objek-objek ini, selama seseorang memiliki rasa bentuk, cukup indah. Saya pernah membuat beberapa di antaranya saat menjadi guru seni patung di École des Beaux-Arts di Aix-en-Provence. Namun, sebelum saya menggunakan teknik ini, ada banyak coba-coba yang melibatkan kawat lunak dan kardus, menghasilkan hasil yang estetikanya sangat diragukan. Saya masih ingat suatu hari saya harus naik kereta dari Marseille untuk membawa ke Paris beberapa permukaan yang berhasil saya representasikan dengan cukup jelas. Salah satunya adalah permukaan Boy, di mana saya menempelkan peta yang berpusat pada satu kutub. Akhirnya, objek ini menjadi sangat indah, dan dipajang selama dua puluh tahun di ruang pi di Palais de la Découverte di Paris. Namun, setahun lalu, pihak museum menganggap permukaan ini sudah ketinggalan zaman, dan sekarang tergeletak di gudang atau ruang bawah tanah. Saya berharap objek ini tidak rusak saat pengiriman. Semua ini untuk mengatakan bahwa Anda sekarang tidak akan bisa melihat permukaan Boy di mana pun, kecuali dalam buku-buku, atau dalam CD-ROM yang berisi 18 komik ilmiah saya dalam format PDF, termasuk Topologicon. Cara mendapatkan CD-ROM ini.
Namun, kembali ke perjalanan yang saya lakukan dari Marseille ke Paris. Saya sudah terlalu banyak barang, dan saya memutuskan membawa tiga model. Satu-satunya solusi adalah menggantungkannya di leher saya. Namun, ketika saya melewati halaman stasiun dan melihat bagaimana orang-orang menatap saya, saya menyadari bahwa mereka mengira saya orang gila yang mendapat izin keluar dari rumah sakit jiwa. Sungguh sia-sia mencoba menjelaskan yang sebenarnya, dan saya harus menanggung penderitaan ini dengan seluruh kehormatan yang mungkin.
Yang lucu adalah bahwa orang-orang yang membuat benda-benda semacam ini cukup langka. Di Amerika ada seorang matematikawan bernama Charles Pugh, yang bekerja di departemen matematika Universitas Berkeley. Saya akan membahasnya lagi nanti. Pugh sangat hebat dalam membuat kawat untuk ayam, tetapi secara pribadi saya lebih suka teknik kawat tembaga.
Kembali ke masalah membalik bola. Orang pertama yang berhasil menyelesaikan masalah ini adalah ahli geometri Anthony Phillips. Ia menerbitkan karyanya, yaitu rangkaian gambar, dalam edisi Scientific American pada tahun 1967. Ada beberapa cara untuk membalik bola. Salah satunya adalah membawa setiap titik bola ke posisi antipoda. Dalam proses ini, bola akan berbentuk permukaan Boy. Saya selalu bermimpi menemukan sponsor untuk membuat patung indah yang menggambarkan bola bumi yang dilipat menjadi permukaan Boy. Karena tidak bisa membangun objeknya, saya membuat ilustrasi sampul Topologicon:
Bola Bumi yang Direkatkan pada Diri Sendiri Menjadi Permukaan Boy
Dalam konfigurasi seperti ini, jika Anda menggali lubang di kutub utara, Anda langsung muncul di sisi lain, yaitu kutub selatan, karena kedua titik ini antipoda. Seorang Prancis yang menggali lubang di ruang bawah tanahnya akan tiba di Selandia Baru, dan seterusnya.
Versi yang ditemukan oleh Anthony Phillips memang menggambarkan bagaimana bola berubah menjadi lipatan dua lembaran permukaan Boy, yang tentu saja merupakan permukaan satu sisi. Jika kita memiliki produk ajaib, traversine, yang memberi permukaan kemampuan menembus dirinya sendiri, cukup dengan menghubungkan setiap titik dengan antipodanya melalui kawat, lalu mengecilkan kawat hingga panjangnya nol. Jika kita tidak bisa dengan mudah merepresentasikan transformasi ini, kita tetap bisa memperhatikan bagian dari bola, misalnya lingkungan ekuator. Ini yang dilakukan dalam animasi berikut. Permukaan ini, dengan dua tepi melingkar, menyerupai pelek roda sepeda. Tiga jari-jari digambarkan, terhubung ke titik-titik yang saling berlawanan. Dengan membuat panjang jari-jari mendekati nol, pita dua sisi ini akan berubah menjadi lipatan dua lembaran pita Möbius dengan tiga setengah putaran. Berikut ini dua animasi yang cukup kasar. Yang kiri lambat, yang kanan cepat.
Pita Möbius dengan tiga setengah putaran ini adalah "lingkungan ekuator" dari permukaan Boy. Di sinilah ekuator bola berputar.
"Ekuator" Permukaan Boy
Sedangkan dua kutub bola berimpit pada kutub tunggal permukaan. Permukaan ini, seperti botol Klein, tidak bisa tenggelam dalam R3. Ia hanya bisa direpresentasikan dalam bentuk imersi. Dalam keadaan ini, ia memiliki himpunan interseksi diri berbentuk heliks tiga bilah, dengan ujung-ujungnya terlihat, yang menyerupai "telinga" tiga "telinga". Pada halaman-halaman berikut, akan diberikan beberapa elemen untuk membantu "membaca" permukaan ini. Jika ada masalah, dapatkan Topologicon.
Di atas kiri, permukaan Boy. Karena permukaan ini satu sisi, kita tidak bisa menggunakan dua warna. Di b, himpunan interseksi diri berbentuk tiga daun, menyerupai bilah heliks di b. Kurva ini saling berpotongan di satu titik tiga kali, T. Gambar-gambar berikut membantu pembaca untuk memahami.
Semua cara digunakan untuk menggambarkan struktur suatu permukaan: pita, perakitan dengan bagian-bagian tambahan. Terlihat bahwa seorang pematung akan menemukan kebahagiaan dengan objek nyata yang sangat menarik ini. Sekilas tentang sejarahnya. Pada tahun 1901, seorang mahasiswa dari matematikawan besar Jerman, Hilbert, bernama Werner Boy, mengemukakan di hadapannya permukaan yang belum pernah dipikirkan oleh siapa pun sebelumnya. Liburan sudah dekat. Hilbert berkata kepada mahasiswanya:
*- Masalah ini tampak menarik. Jika kamu mau, kembali menemuiku setelah liburan, kita bahas bersama. *
Liburan berlalu, tetapi ketika musim kuliah dimulai, Boy tidak muncul kembali. Setelah dua bulan, Hilbert mencoba mencarinya. Setelah mendapat alamat dari mahasiswa lain, ia pergi ke tempat itu. Namun, pemilik rumah menyatakan bahwa muda Werner Boy telah mengembalikan kunci sebelum musim panas dan tidak pernah kembali. Segala upaya mencari dia gagal, sama seperti mencari anggota keluarganya. Ia benar-benar menghilang. Jika Anda pergi ke Jerman, jangan harap bisa mengunjungi makam penemu hebat ini—makamnya tidak ada.
Pada gambar terakhir, di bawah kanan, permukaan Boy digambarkan dalam warna putih, dan dua sisi bola yang menutupinya digambarkan dengan warna abu-abu dan merah muda. Titik A dan A' adalah antipoda pada bola ini. Jelas bagaimana lipatan dua lembaran permukaan Boy dapat digunakan untuk membalik bola. Misalkan kita memiliki rangkaian transformasi, homotopi teratur, yang memungkinkan bola merah muda di luar dan abu-abu di dalam berubah menjadi gambar di bawah kanan. Maka cukup dengan menukar kedua lembaran (dengan membiarkan mereka saling menembus), termasuk titik A dan A', lalu melakukan transformasi yang sama tetapi terbalik, untuk mencapai penggambaran antipodal bola ini, yang kali ini menampilkan warna abu-abu di luar.
Dalam logika yang sama, kita dapat mengharapkan torus bisa berubah menjadi lipatan dua lembaran dari ... botol Klein. Berikut ini bentuk lipatan tersebut.
Lipatan Dua Lembaran Botol Klein
Jika kita berhasil membentuk torus dengan cara ini, cukup dengan menukar lembaran-lembaran yang berdekatan, yang berada di kedua sisi botol Klein (yang tidak digambarkan di sini), lalu melakukan operasi terbalik untuk mendapatkan torus yang telah dibalik. Pekerjaan ini dipresentasikan dalam edisi Januari 1979 Pour la Science dalam artikel yang ditulis oleh B. Morin dan J.P. Petit. Saya menangani bagian gambar, sementara Morin menangani teks. Meskipun ia menyebut banyak orang dalam makalah ini, ia lupa menyebut saya, dan juga lupa menyebutkan bahwa saya adalah penemu bagian pekerjaan ini, yang terdapat di halaman 46 dan 47. Tapi hal seperti ini terjadi ketika bekerja erat dengan rekan. Anda tahu bagaimana: begitu terbiasa dengan kehadirannya selama bertahun-tahun, dan begitu peduli untuk tidak melupakan siapa pun, akhirnya Anda lupa dia, seolah-olah dia bagian dari perabot rumah. Untuk detail lebih lanjut, pekerjaan ini diterbitkan di bawah nama saya dalam Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris pada 20 November 1978, dengan judul "Retournement non-trivial torus", makalah ini disampaikan oleh Akademisi André Lichnérowicz.
Kembali ke Panduan [Kembali ke