Pembalikan Bola

Pembalikan Bola

7 Desember 2004

halaman 3

Bencana dasar.

Kami telah menyebutkan sebelumnya bahwa imersi yang kami pertimbangkan memiliki sifat bahwa bidang singgung sepanjang himpunan titik-titik berpotongan diri, jika memang ada, tetap terpisah. Dalam kondisi tersebut, kita dapat beralih dari satu imersi ke imersi lainnya menggunakan empat jenis bencana dasar. Morin memberi nama-nama ini, yang tercantum pada gambar-gambar berikut. Yang pertama menghasilkan pembentukan kurva tertutup (dan penghancurannya, operasi terbalik). Ini terjadi saat kita mencelupkan siku ke dalam air bak untuk mengecek suhunya (di kiri). Gambar a4: permukaan bersentuhan di satu titik. Pada a5, kurva berpotongan diri telah terbentuk. Dalam teks selanjutnya, kami menyebut operasi ini sebagai "bencana siku".

"Bencana siku": pembentukan - penghancuran kurva tertutup

Bencana kedua adalah "potongan jeruk mandarin":

Bencana yang melibatkan pembentukan dan penghancuran "potongan jeruk mandarin".

Jika kita memperhatikan gambar-gambar ini dari kiri ke kanan, kita akan melihat bahwa sebuah silinder parabolik mendekati sebuah dihedral. Himpunan titik berpotongan diri terdiri dari dua kurva berbentuk parabolik yang terpisah, ditambah jelasnya rusuk dari dihedral. Pada gambar tengah, rusuk dihedral bersentuhan dengan salah satu garis pembentuk silinder. Rusuk ini menyinggung silinder pada titik tersebut. Himpunan titik berpotongan diri terdiri dari dua kurva berbentuk parabolik yang saling bersinggungan di satu titik, serta rusuk dihedral. Gambar kanan: silinder parabolik terus bergerak. Kurva berpotongan diri telah berubah bentuk. Terdiri dari rusuk dihedral, ditambah kurva parabolik yang saling berpotongan di dua titik, yang terletak pada rusuk dihedral. Kita juga dapat memandangnya secara terbalik: silinder parabolik tetap diam, sedangkan dua "bidang potong" yang bergerak. Gambar kanan menggambarkan dua ayunan kapak, atau dua potongan dengan gergaji. Serpihan kayu juga digambarkan. Morin membandingkannya dengan "potongan jeruk mandarin", gambaran yang sangat jelas.

Bencana ketiga adalah "bencana celana".

Bencana "celana"

Gambar-gambar ini cukup jelas. Kita menurunkan celana dari kiri ke kanan ke dalam air. Di kiri, burung melewati bagian antara kaki, tetapi ikan tetap terjebak di salah satu kaki. Di kanan, ikan berhasil melewati, tetapi jalur yang digunakan burung telah hilang. Di tengah, kondisi antara keduanya. Yang penting adalah perubahan lokal pada kurva perpotongan, yang sesuai dengan apa yang disebut "bedah", yaitu perubahan sambungan antar busur kurva. Cobalah memahami transformasi ini dengan baik, karena ini akan menjadi yang paling sulit diterapkan dan diamati dalam homotopi pembalikan bola. Ingatlah bahwa bencana ini menutup satu jalur sekaligus membuka jalur lain dalam arah tegak lurus.

Bencana keempat dan terakhir adalah "pembalikan tetrahedron":

Bencana yang membalikkan tetrahedron

Kurva berpotongan diri terdiri dari empat "garis" yang merupakan perpanjangan dari empat sisi tetrahedron. Pada gambar kiri, tetrahedron ini dipisahkan, menunjukkan sisi abu-abunya ke luar. Di kanan, kebalikannya: sisi-sisinya berwarna merah muda. Di tengah, kondisi antara keduanya: tetrahedron berkurang menjadi satu titik Q (ganda, karena berada pada perpotongan empat permukaan).

Dengan bantuan empat bencana ini, kita akan mempertimbangkan cara membalikkan bola melalui rangkaian kontinu imersi transversal. Variasi ini dikembangkan oleh matematikawan (buta) Bernard Morin. Pertemuan kami layak diceritakan. Suatu hari, seorang teknisi dari fakultas sastra meminta saya membawa keahlian menggambar saya ke seorang pembicara yang akan berbicara tentang geometri. Saya datang ke pertemuan itu tanpa sedikit pun curiga. Saya selalu cukup terampil dalam membayangkan objek dalam ruang, dan ketika dosen matematika tingkat lanjut memberi tugas geometri deskriptif, saya langsung menggambar perpotongan dan menyediakan tampilan perspektif sekaligus saat dia menyampaikan soalnya. Tapi kali ini, semuanya berjalan berbeda.

Saya tidak mengalami kesulitan menggambar gambar-gambar di atas. Namun ketika harus mengintegrasikannya ke dalam skema yang melibatkan pembalikan bola, saya akhirnya benar-benar kehilangan kendali, menghadapi seluruh himpunan permukaan yang tumpang tindih satu sama lain. Dengan rasa malu yang sangat dalam, saya kembali menemui tokoh aneh ini, yang meskipun buta justru terasa lebih nyaman daripada saya dalam menghadapi kompleksitas bentuk-bentuk ini. Saya kemudian mengikuti kelasnya selama beberapa bulan. Dialognya cukup rumit. Di pihaknya, ia hanya bisa menggunakan kata-kata. Di pihak saya, saya bisa menjelaskan gambar saya secara lisan, atau menyerahkan model miniatur yang saya buat sendiri saat pulang ke rumah, atau bahkan di tempat itu sendiri. Seharusnya dialog-dialog ini direkam, benar-benar surrealistis, seperti:

- Coba bayangkan dua kurva yang akan bertemu dan membentuk semacam kocokan telur.

Terlepas dari kepribadian yang sulit dari tokoh ini, pertemuan-pertemuan itu tetap tak terlupakan bagi saya. Saya akhirnya terbiasa minum dua tablet aspirin sebelum sesi kerja, sebagai tindakan pencegahan. Karakternya bisa diringkas dalam julukan yang diberikan istrinya: "Guntur yang Diberkati", tokoh dari komik Hergé "Tintin di Tibet". Dendam Morin terkenal sekaligus tak terbendung. Kadang-kadang ia menyebut beberapa musuhnya yang telah meninggal dunia, dengan berkata:

- Kadang-kadang saya melemparkan kutukan kecil ke alam baka, sambil berpikir bahwa jika itu tak menyakitkan bagi mereka, setidaknya tak akan membawa kebaikan.

Halaman sebelumnya Halaman
berikutnya

Kembali ke Panduan Kembali ke Halaman Utama

Jumlah kunjungan ke halaman ini sejak 8 Desember 2004: