Pembalikan Bola

Pembalikan Bola

7 Desember 2004

halaman 3

Bencana dasar.

Kami telah menyebutkan sebelumnya bahwa imersi yang kami pertimbangkan memiliki sifat bahwa bidang singgung sepanjang himpunan titik potong diri, jika memang ada, tetap terpisah. Dalam kondisi seperti ini, kita dapat beralih dari satu imersi ke imersi lainnya menggunakan empat jenis bencana dasar. Morin memberi nama-nama ini, yang tercantum pada gambar-gambar di bawah ini. Yang pertama menghasilkan pembentukan kurva tertutup (dan penghancurannya, operasi terbalik). Ini terjadi ketika kita mencelupkan siku ke dalam air bak untuk mengetahui suhunya (di kiri). Gambar a4: permukaan bersentuhan di satu titik. Pada a5, kurva potong diri telah terbentuk. Dalam teks selanjutnya, kami akan menyebut operasi ini sebagai "bencana siku".

"Bencana siku": pembentukan dan penghancuran kurva tertutup

Bencana kedua adalah "bencana potongan jeruk":

Bencana yang melibatkan pembentukan dan penghancuran "potongan jeruk".

Jika kita memperhatikan gambar-gambar ini dari kiri ke kanan, kita akan melihat bahwa sebuah silinder parabolik mendekati sebuah dihedral. Himpunan titik potong diri terdiri dari dua kurva berbentuk parabolik yang terpisah, ditambah jelasnya rusuk dari dihedral. Pada gambar tengah, rusuk dihedral bersentuhan dengan salah satu garis pembentuk silinder. Rusuk ini menyinggung silinder pada titik tersebut. Himpunan titik potong diri terdiri dari dua kurva berbentuk parabolik yang saling bersinggungan di satu titik, serta rusuk dihedral. Gambar kanan: silinder parabolik terus bergerak. Kurva titik potong diri telah berubah bentuk. Kurva ini terdiri dari rusuk dihedral, ditambah dua kurva parabolik yang saling berpotongan di dua titik, yang terletak pada rusuk dihedral. Kita dapat memandang secara terbalik bahwa silinder parabolik tetap diam, sedangkan dua "bidang potong" yang bergerak. Gambar kanan menggambarkan dua ayunan kapak, atau dua potongan yang dilakukan dengan gergaji. Serpihan kayu juga digambarkan. Morin membandingkannya dengan "potongan jeruk", sebuah gambaran yang sangat jelas.

Bencana ketiga adalah "bencana celana".

Bencana "celana"

Gambar-gambar ini cukup jelas. Kita menurunkan celana dari kiri ke kanan ke dalam air. Di kiri, burung melewati antara kaki, tetapi ikan tetap terjebak di salah satu kaki. Di kanan, ikan berhasil melewati, tetapi jalur yang digunakan burung telah lenyap. Di tengah, kondisi antara keduanya. Yang penting adalah perubahan lokal pada kurva perpotongan, yang sesuai dengan apa yang disebut "bedah", perubahan sambungan antar busur kurva. Cobalah memahami transformasi ini dengan baik, karena ini akan menjadi yang paling sulit diterapkan dan diamati dalam homotopi pembalikan bola. Ingatlah bahwa bencana ini menutup satu jalur sekaligus membuka jalur lainnya dalam arah yang tegak lurus.

Bencana keempat dan terakhir adalah "pembalikan tetrahedron":

Bencana yang membalikkan tetrahedron

Kurva titik potong diri terdiri dari empat "garis" yang merupakan perpanjangan dari empat sisi tetrahedron. Pada gambar kiri, tetrahedron tersebut dipisahkan, menunjukkan sisi abu-abunya ke luar. Di kanan, kebalikannya: sisi-sisinya berwarna merah muda. Di tengah, kondisi antara keduanya: tetrahedron menyusut menjadi satu titik Q (ganda, karena berada pada perpotongan empat lembaran).

Dengan bantuan empat bencana ini, kita akan mempertimbangkan bagaimana membalikkan bola melalui rangkaian kontinu imersi transversal. Variasi ini dikembangkan oleh matematikawan (buta) Bernard Morin. Pertemuan kami layak diceritakan. Suatu hari seorang teknisi dari fakultas sastra meminta saya membawa keahlian menggambar ke sebuah pembicara yang akan berbicara tentang geometri. Saya datang ke pertemuan itu tanpa rasa curiga. Saya selalu cukup terampil dalam membayangkan objek dalam ruang, dan ketika dosen matematika tingkat lanjut memberi tugas geometri deskriptif, saya langsung menggambar perpotongan dan menyediakan tampilan perspektif sekaligus saat dia menyampaikan soalnya. Tapi kali ini, semuanya berjalan berbeda.

Saya tidak mengalami kesulitan menggambar gambar-gambar di atas. Namun ketika harus mengintegrasikannya ke dalam skema yang melibatkan pembalikan bola, saya akhirnya benar-benar kehilangan akal, menghadapi sejumlah lembaran yang terletak satu di belakang yang lain. Merasa terganggu, saya kembali menemui orang aneh ini, yang meskipun buta justru tampak lebih nyaman daripada saya dalam menghadapi penyebaran bentuk-bentuk ini. Saya kemudian mengikuti pelajarannya selama beberapa bulan. Dialognya cukup rumit. Dari sisi dia hanya bisa berbicara. Dari sisi saya, saya bisa menjelaskan gambar-gambar saya secara lisan, atau menyerahkan model miniatur yang saya buat sendiri di rumah, atau di tempat lain. Seharusnya dialog-dialog ini direkam, benar-benar surrealis, seperti:

- Coba bayangkan dua kurva yang bertemu dan membentuk sesuatu seperti kocokan telur.

Terlepas dari kepribadian yang sulit dari orang ini, pertemuan-pertemuan itu tetap tak terlupakan bagi saya. Saya akhirnya terbiasa mengonsumsi dua tablet aspirin sebelum sesi kerja, sebagai tindakan pencegahan. Karakternya bisa diringkas dengan julukan yang diberikan istrinya: "Petir yang Diberkati", tokoh dalam komik Hergé "Tintin di Tibet". Dendam Morin terkenal sekaligus tak terbalikkan. Kadang-kadang ia menyebut beberapa musuhnya yang telah meninggal dunia, dengan berkata:

- Kadang-kadang saya melemparkan kutukan kecil ke alam baka, dengan berpikir bahwa jika itu tak menyakitkan bagi mereka, setidaknya tak akan membuat mereka lebih baik.

Halaman sebelumnya Halaman
berikutnya

Kembali ke Panduan Kembali ke Halaman Utama

Jumlah kunjungan ke halaman ini sejak 8 Desember 2004: