Putaran Bola Matematika Kegagalan

Putaran Bola

8 Desember 2004

halaman 4

Versi Bernard Morin

Untuk mengunduh versi PDF artikel tahun 1979 oleh B. Morin dan J.P. Petit yang terbit di Pour la Science

Putaran Bola (2,8 MB)

Kita mulai dengan bola yang menampilkan sisi abu-abu ke luar dan sisi merah muda ke dalam. Pada b dan c, kita menghubungkan kutub-kutubnya. Kemudian lapisan-lapisan saling menembus menurut "kegagalan siku". Terbentuklah kurva tertutup yang saling berpotongan. Di bawah dan kanan, tiga potongan setengah membantu memahami konfigurasi yang diperoleh. Pada tahap ini bola tampak seperti "perahu karet" melingkar, dengan "bantalan" dan "lantai" berdinding ganda.

Langkah pertama: "kegagalan siku". Pembentukan kurva tertutup berpotongan

Operasi kedua: kegagalan siku baru, pembentukan kurva tertutup kedua.

Pembentukan kurva tertutup berpotongan kedua.

Untuk melakukan ini, "perahu karet" telah dilipat dengan gerakan putar, sehingga memungkinkan dua bagian dari "bantalan", yang berseberangan, saling bersentuhan. Gambar berikut adalah hasil dari dua kegagalan yang menghasilkan "iris jeruk".

Setelah pembentukan dua "iris jeruk"

Di kiri, kita melakukan pemotongan pada model. Di tengah, bagaimana dua silinder yang secara lokal penampangnya memengaruhi bentuk huruf Yunani "gamma" saling menembus. Ingat bahwa kegagalan pembentukan "iris jeruk" terjadi dengan memotong "batang kayu" menggunakan dua bidang yang membentuk dihedral. Setiap struktur silindris dengan penampang berbentuk "gamma" memiliki bagian bulat dan dihedral. Perhatikan dengan cermat gambar i. Di j, kita menggambarkan keseluruhan bagian berpotongan. Bagian kurva tertutup terbesar berasal dari "kegagalan siku" pertama yang mengubah bola menjadi "perahu karet". Setelah pembentukan dua iris jeruk, kita mendapatkan struktur yang lebih kompleks, di mana j merupakan bagian dari struktur tersebut. Di j", kita melihat bahwa struktur ini dapat dibandingkan dengan perakitan dua "iris jeruk" pada dua rusuk tetrahedron yang tidak bersebelahan.

Semua ini akan jauh lebih mudah dipahami suatu hari nanti ketika saya bisa membuat animasi. Secara teknis, tidak ada masalah. Hanya masalah waktu. Sedikit orang yang bisa tidak hanya melihat dalam ruang, artinya membaca kode yang menggunakan garis, titik-titik, warna, bayangan, dan pantulan, tetapi juga mengikuti transformasi dalam pikiran dengan membayangkan gerakan yang disiratkan. Saya berharap suatu hari nanti saya punya waktu untuk melakukan semua hal ini. Sekarang perhatikan bahwa kita bisa menggunakan model polihedral, seperti yang saya lakukan untuk menunjukkan bagaimana Crosscap bisa diubah menjadi Permukaan Boy. Di situlah masa depannya. Tapi model-model ini harus diciptakan. Di bagian bawah akan ditemukan versi polihedral teroptimalkan dari model pusat transformasi ini yang digagas oleh Bernard Morin (ingat, dia buta!), beserta cara membuatnya sendiri dari potongan kertas.

Mengapa saya tidak melanjutkan hal ini lebih jauh? Saya akan berkata: karena tidak ada "pintu keluar". Tidak ada jurnal matematika yang mau menerima publikasi karya semacam ini. Kami berhasil melakukannya pada 1975-1978 melalui beberapa catatan di Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, yang mungkin tidak dibaca oleh banyak orang. Tapi itu karena akademisi André Lichnérowicz secara pribadi tertarik pada karya ini. Sekarang beliau telah meninggal. Karena karya ini sudah selesai sepenuhnya sejak 1975, seharusnya sudah tepat untuk membuat film animasi dari gambar-gambar saya. Karena saya pernah bekerja di bidang animasi, saya sepenuhnya mampu mengoordinasikan proyek semacam ini. Tapi tidak mungkin mendapatkan pendanaan dari CNRS, dan akhirnya matematikawan Amerika Nelson Max, yang terinspirasi oleh model-model yang dibuat oleh rekannya Charles Pugh (dari versi yang sama dari putaran bola ini), menggunakan komputer canggih berhasil membuat film pertama. Tapi ini bukan pertama kalinya orang Prancis, yang usaha mereka tidak mendapat tanggapan, kalah oleh rekan-rekan asing yang lebih terorganisir dan lebih didukung.

Sekarang kita beralih ke tahap ketiga, yang paling sulit dipahami.

Persiapan dua kegagalan "celana"

Pada gambar k, kita bisa melihat dengan jelas dua ujung "kaki celana", dengan detail yang ditampilkan di k'. Panah putih menunjukkan perpindahan "melalui celah antar kaki". Transformasi ini benar-benar sulit dipahami. Saya menambahkan gambar m untuk mencoba menjelaskan lebih baik. Di l, saya menggambarkan kurva berpotongan menggunakan garis putus-putus, yang secara keseluruhan terlihat di l'. Satu bagian (yang dilalui panah putih) akan menutup. Gerakan penutupan ini akan disertai dengan kenaikan sebagian dari kurva berpotongan, di dua tempat. Bagian-bagian kurva ini akan bersentuhan, masing-masing, pada salah satu garis yang termasuk dalam "iris jeruk". Ketika sentuhan terjadi, operasi bedah akan dilakukan. Kesulitannya adalah karena setelah melihat empat kegagalan dasar sebelumnya, kita harus mampu memahaminya dari semua sudut, bahkan dengan memutar leher. Di n, kita menggambarkan moment kritis ketika operasi bedah terjadi (keadaan "tengah" transformasi), dan saat mode penyambungan bagian-bagian kurva berubah. Kita tahu bahwa kegagalan "celana" ini menutup satu jalan dan membuka jalan lain. Jalan awal digambarkan oleh panah putih. Tapi ada satu jalan lain yang bisa dilihat dari sudut yang sama jika kita memutar model 180° sekitar sumbu vertikal. Kedua panah ini sebenarnya hanya satu. Sebelum kegagalan ini terjadi, masih mungkin untuk bergerak melalui "perahu karet yang dilipat" ini. Ketika kegagalan ini terjadi, jalan itu tidak lagi mungkin. Sebaliknya, dua jalan lain akan terbentuk. Tapi di mana, bagian ruang mana yang terlibat? Jalan-jalan ini akan menghubungkan bagian dalam "iris jeruk" dengan luar. Di l', Anda bisa melihat "iris jeruk" ini. Mari kita lanjut ke tahap berikutnya.

Penutupan jalan. Menuju keadaan kritis ganda

Di o, kita menggambarkan dua kegagalan "celana" pada dua tahap berbeda. Salah satu jalan benar-benar tertutup. Kita berada dalam keadaan kritis, tepat sebelum bagian-bagian kurva mengubah mode penyambungannya. Di sebelah kanan (detail pada gambar o') jalan sedang dalam proses menutup. Karena itu, penampilan kurva berpotongan o" berbeda di kiri dan kanan. Pada gambar p, p', dan p", kritisitas (keadaan "tengah" transformasi) tercapai dari kedua sisi. Pada halaman berikutnya, operasi bedah telah berdampak. Tabung-tabung yang tampak mulai terbentuk pada gambar p", yang menghubungkan "iris jeruk" dengan luar, kini telah terbentuk:

Dua "kegagalan celana" telah berdampak. Jalan (panah putih) terbuka.

Sekarang hal-hal akan berlanjut dengan bekerja pada bagian bawah model, dengan detail yang ditunjukkan di r. Perhatikan bagian permukaan ini dengan cermat. Kita melihat dua bagian silinder parabola yang berpotongan, dengan arah yang saling tegak lurus. Ada satu jalan di bagian bawah r yang menghadap ke pembaca. Kita akan mempertimbangkan untuk menggeser dua silinder ini satu sama lain. Ini akan menyebabkan penutupan jalan ini dan membuka jalan lain yang mengikuti arah tegak lurus ("dari kanan ke kiri"). Di sini kita mengenali kegagalan "celana" baru. Jika pergeseran vertikal dari bagian-bagian silinder parabola ini terjadi, kita akan kembali berada dalam keadaan kritis, dengan perubahan mode penyambungan lapisan-lapisan. Tapi sebenarnya, demi efisiensi, kita akan menghentikan proses ini pada titik kritis, pada "keadaan tengah", ketika jalan yang menghadap ke pembaca tertutup dan jalan yang berada dalam arah tegak lurus belum terbuka. Mari kita lakukan itu.

Kegagalan celana baru, dimulai dalam bentuk L, dihentikan di kanan, pada titik kritis.

Kita akan menerapkan "tekanan" pada silinder yang menampilkan warna merah muda ke luar, dan mengangkatnya. Di c', kita melihat dampak gerakan ini terhadap keseluruhan bagian berpotongan: busur-busur kurva mulai mendekat. Ketika kritisitas tercapai, bagian ini akan terlihat seperti "pengocok telur", seperti yang digambarkan dalam gambar. Gambar di kanan, t, t', t": kritisitas tercapai, artinya "waktu tengah kegagalan". Di t", penampilan keseluruhan bagian berpotongan dengan bagian bawah yang identik dengan pengocok telur kita. Gambar t' mewakili volume tetrahedron kecil. Di t''' kita menggambarkan perpotongan keempat lapisan.

Silakan minum aspirin.

Dalam versi putaran bola ini, semua transformasi dan kegagalan seharusnya diperlakukan hingga selesai. Tapi kita akan menghentikan kegagalan yang baru saja kita bahas pada konfigurasi tengahnya, "kritis". Selanjutnya, kita akan memulai kegagalan yang belum pernah kita gunakan: kegagalan yang membalikkan tetrahedron. Tapi sekali lagi, kita akan berhenti pada keadaan "tengah", ketika tetrahedron ini berkurang menjadi satu titik. Mari kita lakukan!

Kegagalan terakhir, dihentikan pada tahap tengah: ketika tetrahedron berkurang menjadi titik ganda Q

Di t''' kita menggambarkan konfigurasi keempat lapisan yang keseluruhan bagian berpotongan mengandung volume yang menyerupai tetrahedron. Di u" tetrahedron ini telah berkurang menjadi satu titik (ganda, karena empat lapisan saling berpotongan). Di sebelah kiri, "model empat telinga Morin" telah terbentuk. Di depan, keseluruhan bagian berpotongan dengan, di bawah, "pengocok telur" dan di atas empat tali yang menggambarkan "telinga kelinci". Dengan sedikit memperhalus permukaan, tanpa melakukan kegagalan baru, kita mendapatkan di sebelah kanan model pusat empat telinga Morin. Model ini memiliki simetri orde empat. Jika kita melakukan rotasi 90° sekitar sumbu simetri vertikal, kita akan mendapatkan gambar yang sama, tetapi dengan warna yang ditukar. Abu-abu menjadi merah muda dan sebaliknya. Sekarang kita bisa mengatakan pekerjaan selesai. Karena jika kita ingin menggambarkan homotopi lengkap, cukup dengan animasi memutar model pusat ini 90°. Lalu kita bisa mengulang semua gambar yang telah kita buat, secara terbalik, dengan warna yang ditukar. Akhirnya kita akan mendapatkan penyelaman bola yang menampilkan warna merah muda ke luar. Tapi matematika adalah sekolah kemalasan atau ekonomi, tergantung sudut pandang kita. Karena pekerjaan kita telah membawa kita ke objek yang memiliki simetri orde empat, kita bisa berhenti di sini dan mengatakan operasi telah berhasil.

Pada halaman berikutnya, saya berusaha menggambarkan model pusat Morin terbuka dengan detail maksimal. Ada model dengan "telinga tertutup", yang telah saya jelaskan dalam catatan lain di Akademi, tapi saya akan melewatinya.

Deskripsi rinci model pusat Morin, empat telinga

Setelah itu, saya menemukan representasi polihedral dari model pusat empat telinga. Sebenarnya model seperti ini tidak memiliki "atas" atau "bawah". Untuk kemudahan menggambar dan animasi (saya mendapatkan gambar ini dengan perangkat lunak bantu desain komputer yang saya kembangkan, sebelum tahun 1980), animasi GIF berikut menunjukkan model ini dengan titik ganda menghadap ke atas. Titik empat juga terlihat:

Versi polihedral saya dari model empat telinga

Cara membuat model ini menggunakan potongan kertas

Elemen potongan kertas (cetak, lalu fotokopi di empat halaman kertas tebal, dua warna)

Dalam animasi awal, objek berada "terbalik" dibandingkan tampilan di atas. Jadi, "dilihat dari atas", bentuknya seperti silang gamma, keseluruhan bisa menggambarkan "rumah budaya untuk partai neo-Nazi". Saya lebih memilih membalik objek agar tidak memberi ide buruk kepada arsitek sayap kanan ekstrem. Klik di sini untuk semua penjelasan tentang cara membangun objek ini sendiri. Untuk menutup, beberapa tampilan objek ini.

Saya akan menutup pengungkapan tentang putaran bola dengan sebuah kisah menakjubkan namun benar-benar otentik. Pada masa ketika transformasi ini hanya diketahui oleh sejumlah kecil orang terpilih, seorang dermawan menawarkan hadiah satu juta dolar AS kepada siapa pun yang berhasil membuat model yang cukup jelas. Di Berkeley, matematikawan Charles Pugh menangani pekerjaan ini dan berhasil menyelesaikannya. Dengan uang itu, ia bisa membeli sebuah rumah. Model-model ini, yang dibuat dari kawat ayam dan masing-masing berdiameter sekitar satu meter (Pugh dengan keahlian luar biasa bisa memotong dan menyambung kawat struktur yang memungkinkan penembusan diri), selama bertahun-tahun menghiasi langit-langit kantin departemen matematika Berkeley. Lalu, suatu malam, mereka dicuri dan tidak pernah ditemukan lagi. Tidak pernah diketahui siapa pelakunya. Secara komersial, lebih sulit dijual daripada Mona Lisa di Louvre. Mungkin seorang kolektor menyimpannya di ruang bawah tanah rahasia, setiap malam merasa senang saat turun ke sana sambil berkata, "Saya satu-satunya yang bisa melihatnya."

Ada kisah lain yang berkaitan dengan Permukaan Boy, yang pertama kali saya menemukan kurva meridian, mengidentifikasikannya sebagai keluarga elips. Pekerjaan ini dilakukan secara empiris, berdasarkan model logam yang saya buat. Salah satu putra matematikawan Jean-Marie Souriau, Jérôme, saat itu sedang menempuh studi fisika. Dengan menggunakan komputer Apple II milik ayahnya, ia berhasil membuat representasi parametrik pertama objek ini, dalam bentuk:

X = X ( alpha , mu )

Y = Y ( alpha , mu )

Z = Z ( alpha , mu )

Saya tidak bisa menyisipkan font Symbol di Dreamweaver, yang memungkinkan saya menyertakan huruf Yunani dalam halaman htm &&& Jika ada yang bisa menjelaskan caranya......

Dengan sepuluh baris kode BASIC, kami berhasil menampilkan gambar "kawat" pertama dari Permukaan Boy di layar pada tahun 1981. Jika Anda menemukan gambar sintesis objek ini di situs web, semuanya pasti berasal dari pekerjaan yang dipublikasikan di Akademi Ilmu Pengetahuan (volume 293, sidang 5 Oktober 1981, seri 1, halaman 269-272). Karena pekerjaan ini ditandatangani oleh J.P. Petit dan J. Souriau, pembaca (yang sangat jarang) berpikir bahwa J. Souriau adalah matematikawan terkenal. Padahal itu adalah putranya, Jérôme, yang tidak menyelesaikan gelar sarjana fisika dan lebih memilih menjadi profesional informatika. Mudah untuk disadari bahwa gambar sintesis, banyak di antaranya dibuat oleh insinyur École Polytechnique Colonna, didasarkan pada persamaan yang kami temukan, Jérôme dan saya. Gambar-gambar ini perlu diperbaiki, dan karena tidak ada pekerjaan finishing, permukaan ini menampilkan tiga lipatan yang cukup tidak estetis di dekat kutubnya. Berikut adalah program untuk membuat representasi "kawat" ini.


**
Program, diambil dari Topologicon** :

Kisah terakhir lebih menakjubkan. Sekitar dua puluh tahun yang lalu, saya ikut dalam ekspedisi bawah laut di selatan Bahamas bersama penyelam Jacques Mayol. Tujuannya adalah menemukan "piramida tenggelam" yang disebutkan oleh Charles Berlitz dalam bukunya yang terkenal "Triangle of the Bermuda", buku terlaris global. Secara tepat, piramida ini seharusnya berada di selatan terumbu Cay Sal Bank, di tengah antara Florida dan Kuba, wilayah yang dipenuhi hiu laut berbahaya. Tapi dalam penelitian, terkadang harus berani mengambil risiko.

Kami tidak menemukan lebih banyak piramida daripada mentega di tusuk sate. Kami dibawa ke lokasi oleh seorang pengusaha Italia yang sangat kaya, dengan kapal pesiar mewah berukuran