Putaran Bola: Bencana Matematis

Putaran Bola

8 Desember 2004

halaman 4

Versi Bernard Morin

Untuk mengunduh versi PDF artikel tahun 1979 oleh B. Morin dan J.P. Petit yang terbit di Pour la Science

Putaran Bola (2,8 MB)

Kita mulai dari bola yang menampilkan sisi abu-abu ke luar dan sisi merah muda ke dalam. Pada b dan c, kita mendekatkan kutub-kutubnya. Kemudian lapisan-lapisan saling menembus membentuk "bencana siku". Terbentuklah kurva tertutup yang saling berpotongan. Di bawah dan kanan, tiga potongan setengah membantu memahami konfigurasi yang terbentuk. Pada tahap ini, bola tampak seperti perahu karet bundar tertentu, dengan "bantalan" dan "lantai" berdinding ganda.

Langkah pertama: "bencana siku". Pembentukan kurva tertutup berpotongan

Operasi kedua: bencana siku baru, pembentukan kurva tertutup kedua.

Pembentukan kurva tertutup berpotongan kedua.

Untuk melakukan ini, "perahu karet" dilipat dengan gerakan putar, memungkinkan dua bagian "bantalan" yang berseberangan secara diametral menyentuh satu sama lain. Gambar berikut adalah hasil dari dua bencana yang menghasilkan "potongan jeruk mandarin".

Setelah pembentukan dua "potongan jeruk mandarin"

Di kiri, kita melakukan pemotongan pada model. Di tengah, bagaimana dua silinder yang secara lokal penampangnya memengaruhi bentuk huruf Yunani "gamma" saling menembus. Ingat bahwa bencana pembentukan "potongan jeruk mandarin" terjadi dengan memotong "batang kayu" menggunakan dua bidang yang membentuk dihedral. Struktur silindris yang penampangnya berbentuk "gamma" mengandung penampang melengkung dan dihedral. Perhatikan dengan cermat gambar i. Di j, kita menggambarkan keseluruhan kurva berpotongan. Bagian kurva tertutup terbesar berasal dari "bencana siku" pertama yang mengubah bola menjadi "perahu karet". Setelah pembentukan dua potongan jeruk mandarin, kita mendapatkan struktur yang lebih kompleks, di mana j merupakan bagian dari struktur tersebut. Di j", kita melihat struktur ini dapat dibandingkan dengan perakitan dua "potongan jeruk mandarin" pada dua rusuk tetrahedron yang tidak bersebelahan.

Semuanya akan menjadi jauh lebih mudah dipahami suatu hari nanti ketika saya bisa membuat animasi. Secara teknis, saya tidak menghadapi kesulitan apa pun. Ini hanya masalah waktu. Sedikit orang yang bisa tidak hanya melihat dalam ruang, artinya membaca kode yang menggunakan garis, titik-titik, warna, bayangan, dan pantulan, tetapi juga menghubungkan transformasi dalam pikiran mereka dengan membayangkan gerakan yang disiratkan. Saya berharap suatu hari nanti saya memiliki waktu untuk melakukan semua hal ini. Kita perlu mencatat bahwa kita bisa menggunakan model polihedral, seperti yang saya lakukan untuk menunjukkan bagaimana Crosscap dapat diubah menjadi Permukaan Boy. Di situlah masa depannya. Tapi model-model ini harus diciptakan. Di bagian bawah, kita akan menemukan versi polihedral optimal dari model pusat transformasi yang digagas oleh Bernard Morin (ingat bahwa dia seorang tunanetra!), beserta cara membuatnya sendiri dari potongan kertas.

Mengapa saya tidak melangkah lebih jauh dalam hal ini? Saya akan mengatakan: karena kurangnya "peluang". Tidak ada jurnal matematika yang menerima publikasi karya semacam ini. Kami berhasil melakukannya pada 1975-1978 melalui beberapa catatan di Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, yang mungkin tidak dibaca oleh banyak orang. Tapi itu karena akademisi André Lichnérowicz secara pribadi tertarik pada karya-karya ini. Kini beliau telah meninggal dunia. Karena karya ini telah selesai sepenuhnya sejak 1975, seharusnya lebih baik jika kami membuat film animasi dari gambar-gambar saya. Karena saya pernah bekerja di bidang animasi, saya sepenuhnya mampu mengoordinasikan proyek semacam ini. Namun, sangat sulit menemukan pendanaan dari CNRS, dan akhirnya matematikawan Amerika Nelson Max, yang mengambil inspirasi dari maquette yang dibuat oleh rekannya Charles Pugh (dari versi yang sama dari putaran bola), dan menggunakan komputer canggih, berhasil membuat film pertama. Tapi ini bukan pertama kalinya orang Prancis, yang usaha mereka tidak mendapat tanggapan, kalah oleh kolega asing yang lebih terorganisir dan lebih didukung.

Sekarang kita beralih ke fase ketiga, yang paling sulit dipahami.

Persiapan dua "bencana celana"

Dalam gambar k, kita dapat melihat dengan jelas dua ujung "kaki celana", dengan rincian terlihat di bagian depan k'. Panah putih menunjukkan perpindahan "melalui celah antar kaki". Transformasi ini benar-benar sulit dipahami. Saya menambahkan gambar m untuk mencoba menjelaskan dengan lebih baik. Di l, saya menggambarkan kurva berpotongan menggunakan garis putus-putus, yang secara keseluruhan terlihat di l'. Satu bagian (yang dilalui panah putih) akan menutup. Gerakan penutupan ini akan disertai dengan kenaikan sebagian kurva berpotongan, di dua tempat. Ujung-ujung kurva ini akan menyentuh, masing-masing, pada salah satu garis yang termasuk dalam "potongan jeruk mandarin". Ketika sentuhan terjadi, operasi bedah akan terjadi. Kesulitannya terletak pada kenyataan bahwa setelah melihat empat bencana dasar sebelumnya, kita harus mampu memahaminya dari semua sudut, bahkan dengan memutar leher. Di n, kita menggambarkan moment kritis saat operasi bedah terjadi (keadaan "median" transformasi), saat mode penyambungan ujung-ujung kurva berubah. Kita tahu bahwa bencana "celana" ini menutup satu jalur dan membuka jalur lain. Jalur awal digambarkan oleh panah putih. Tapi ada jalur lain yang akan terlihat dari sudut yang sama jika kita memutar model 180° sekitar sumbu vertikal. Kedua panah ini sebenarnya merupakan satu. Sebelum bencana terjadi, masih mungkin bergerak melalui "perahu karet yang dilipat" ini. Ketika bencana terjadi, jalur ini tidak lagi mungkin. Sebaliknya, dua jalur lainnya akan terbentuk. Tapi di mana, bagian ruang mana yang terlibat? Jalur-jalur ini akan menghubungkan bagian dalam "potongan jeruk mandarin" dengan luar. Di l', Anda melihat "potongan jeruk mandarin" ini. Mari kita lanjut ke langkah berikutnya.

Penutupan jalur. Menuju keadaan kritis ganda

Di o, kita menggambarkan dua bencana "celana" pada dua tahap berbeda. Salah satu jalur telah sepenuhnya tertutup. Kita berada dalam keadaan kritis, tepat sebelum arc kurva berubah mode penyambungannya. Di sebelah kanan (detail pada gambar o'), jalur sedang dalam proses menutup. Oleh karena itu, bentuk kurva berpotongan o" berbeda di kiri dan kanan. Pada gambar p, p', dan p", keadaan kritis (keadaan "median" transformasi) tercapai dari kedua sisi. Pada halaman berikutnya, operasi bedah telah berjalan. Tabung-tabung yang tampak mulai terbentuk pada gambar p", yang menghubungkan "potongan jeruk mandarin" dengan luar, kini telah terbentuk:

Dua "bencana celana" telah berjalan. Jalur (panah putih) terbuka.

Sekarang, proses akan berlanjut dengan bekerja pada bagian bawah model, dengan rincian terlihat di r. Perhatikan bagian permukaan ini dengan cermat. Kita melihat dua bagian silinder parabolik yang saling berpotongan, bergerak dalam dua arah ortogonal. Ada jalur di bagian bawah r yang menghadap ke pembaca. Kita akan mempertimbangkan untuk menggeser dua silinder ini satu sama lain. Ini akan menyebabkan penutupan jalur ini dan membuka jalur lain yang berjalan sepanjang arah tegak lurus ("dari kanan ke kiri"). Di sini kita mengenali bencana "celana" baru. Jika geseran vertikal ini terjadi pada bagian silinder parabolik, kita akan kembali mencapai keadaan kritis, dengan perubahan mode penyambungan lapisan. Tapi dalam kenyataannya, demi efisiensi, kita akan menghentikan "proses" pada keadaan kritis, pada "keadaan median", ketika jalur yang menghadap ke pembaca tertutup dan jalur yang berada dalam arah tegak lurus belum terbuka. Mari kita lakukan ini.

Bencana celana baru, dimulai dalam bentuk L, dihentikan di kanan, pada keadaan kritis.

Kita akan menerapkan "tekanan" pada silinder yang menampilkan warna merah muda ke luar, dan mengangkatnya. Di c', kita melihat dampak gerakan ini terhadap keseluruhan kurva berpotongan: arc-arc kurva mulai mendekat. Ketika keadaan kritis tercapai, bagian ini akan tampak seperti "pengocok telur", seperti yang digambarkan dalam gambar. Gambar-gambar di sebelah kanan, t, t', t": keadaan kritis tercapai, yaitu "waktu median dari bencana". Di t", bentuk keseluruhan kurva berpotongan menyerupai bagian bawah "pengocok telur" kita. Gambar t' mewakili volume tetrahedral kecil. Di t''' kita menggambarkan perpotongan keempat lapisan.

Silakan minum aspirin.

Dalam versi putaran bola ini, semua transformasi dan bencana seharusnya diselesaikan hingga akhir. Tapi kita akan menghentikan bencana yang baru saja kita bahas pada konfigurasi median, "kritis". Selanjutnya, kita akan memulai bencana yang belum pernah kita gunakan: yang membalikkan tetrahedron. Tapi sekali lagi, kita akan berhenti pada keadaan "median", ketika tetrahedron tersebut berkurang menjadi titik. Mari kita lakukan!

Bencana terakhir, dihentikan pada tahap median: ketika tetrahedron berkurang menjadi titik ganda Q

Di t''' terlihat konfigurasi keempat lapisan, di mana keseluruhan kurva berpotongan mengandung volume yang menyerupai tetrahedron. Di u" tetrahedron ini telah berkurang menjadi titik (ganda, karena empat lapisan saling berpotongan). Di sebelah kiri, "model Morin empat telinga" telah terbentuk. Di bagian depan, keseluruhan kurva berpotongan dengan "pengocok telur" di bawah dan empat tali yang menggambarkan "telinga kelinci" di atas. Dengan sedikit membentuk permukaan, tanpa melakukan bencana baru, kita mencapai di sebelah kanan model pusat empat telinga Morin. Model ini memiliki simetri orde empat. Jika kita melakukan rotasi 90° sekitar sumbu simetri vertikal, kita akan mendapatkan gambar yang sama, tetapi dengan warna yang ditukar. Abu-abu menjadi merah muda dan sebaliknya. Sekarang kita bisa mengatakan pekerjaan selesai. Karena jika kita ingin menggambarkan homotopi lengkap, cukup dengan animasi memutar model pusat ini 90°. Kemudian kita bisa mengulang semua gambar yang telah kita buat, secara terbalik, dengan warna yang ditukar. Akhirnya, kita akan mendapatkan penyelaman bola yang menampilkan warna merah muda ke luar. Tapi matematika adalah sekolah kemalasan atau ekonomi, tergantung sudut pandang kita. Karena pekerjaan kita telah membawa kita ke objek dengan simetri orde empat, kita bisa berhenti di sini dan mengatakan operasi telah berhasil.

Pada halaman berikutnya, saya berusaha menggambarkan model pusat Morin terbuka dengan detail maksimal. Ada model dengan "telinga tertutup", yang telah saya jelaskan dalam catatan lain di Akademi, tetapi saya akan melewatkan penjelasannya.

Deskripsi rinci model pusat Morin, empat telinga

Setelah itu, saya menemukan representasi polihedral dari model pusat empat telinga. Sebenarnya, model seperti ini tidak memiliki "atas" atau "bawah". Untuk kemudahan menggambar dan animasi (saya mendapatkan gambar ini dengan perangkat lunak desain bantu komputer yang saya kembangkan, sebelum tahun 1980), animasi GIF berikut menunjukkan model ini dengan titik ganda menghadap ke atas. Titik empat juga terlihat:

Versi polihedral saya dari model empat telinga

Cara membuat model ini dengan pemotongan kertas

Elemen pemotongan (cetak, lalu fotokopi pada empat halaman kertas tebal, dua warna)

Dalam animasi awal, objek berada "terbalik" dibandingkan tampilan di atas. Jadi, "dilihat dari atas", bentuknya menyerupai silang gamma, keseluruhan bisa menggambarkan semacam "rumah budaya untuk partai neo-Nazi". Saya lebih memilih membalik objek agar tidak memberi ide buruk kepada arsitek sayap kanan. Klik di sini untuk semua penjelasan tentang cara membangun objek ini sendiri. Untuk menutup, beberapa tampilan objek ini.

Saya akan menutup penggambaran putaran bola ini dengan sebuah anekdot menakjubkan namun benar-benar otentik. Pada masa ketika transformasi ini hanya diketahui oleh sejumlah kecil orang terpilih, seorang dermawan menawarkan hadiah satu juta dolar AS kepada siapa pun yang berhasil membuat model yang cukup jelas. Di Berkeley, matematikawan Charles Pugh mengerjakan proyek ini dan berhasil menyelesaikannya. Dengan uang itu, ia membeli sebuah rumah. Model-model ini, dibuat dari kawat ayam dan masing-masing berdiameter sekitar satu meter (Pugh dengan keterampilan luar biasa bisa memotong dan menyambung kawat struktur, memungkinkan penembusan diri), selama bertahun-tahun menghiasi langit-langit kantin departemen matematika Berkeley. Lalu, suatu malam, mereka dicuri dan tidak pernah ditemukan kembali. Tidak pernah diketahui siapa pelakunya. Secara komersial, lebih sulit dijual daripada Mona Lisa di Louvre. Mungkin seorang kolektor menyimpannya di ruang bawah tanah rahasia, setiap malam merasa senang saat turun ke sana sambil berkata, "Hanya saya satu-satunya yang bisa melihatnya."

Ada anekdot lain yang terkait dengan Permukaan Boy, yang pertama kali saya menemukan kurva meridian, mengidentifikasikannya sebagai keluarga elips. Pekerjaan ini dilakukan secara empiris, berdasarkan model logam yang saya buat. Salah satu putra matematikawan Jean-Marie Souriau, Jérôme, saat itu sedang menempuh studi fisika. Menggunakan komputer Apple II milik ayahnya, ia berhasil membuat representasi parametrik pertama dari objek ini, dalam bentuk:

X = X (alpha, mu)

Y = Y (alpha, mu)

Z = Z (alpha, mu)

Saya tidak bisa menyisipkan font Symbol di Dreamweaver, yang memungkinkan saya menyisipkan huruf Yunani dalam halaman HTML &&& Jika ada yang bisa menjelaskan caranya......

Dengan sepuluh baris kode BASIC, kami berhasil menampilkan gambar "kawat" dari Permukaan Boy pertama kali di layar pada tahun 1981. Jika Anda menemukan gambar sintesis objek ini di situs web, semuanya pasti didasarkan pada karya yang diterbitkan di Akademi Ilmu Pengetahuan (jilid 293, sidang 5 Oktober 1981, seri 1, hal. 269-272). Karena karya ini ditandatangani oleh J.P. Petit dan J. Souriau, pembaca (yang sangat sedikit) mengira bahwa J. Souriau adalah matematikawan terkenal. Padahal itu adalah putranya, Jérôme, yang tidak menyelesaikan gelar sarjana fisika dan lebih memilih menjadi seorang informatician. Mudah untuk disadari bahwa gambar sintesis, banyak di antaranya dibuat oleh Colonna dari École Polytechnique, didasarkan pada persamaan yang kami temukan, Jérôme dan saya. Gambar-gambar ini perlu diperbaiki, dan karena tidak ada pekerjaan finishing, permukaan ini menampilkan tiga lipatan yang cukup tidak estetis di sekitar kutubnya. Berikut adalah program yang memungkinkan pembuatan representasi "kawat" ini.


**
Program, diambil dari Topologicon**:

Anekdot terakhir lebih menakjubkan. Sekitar dua puluh tahun lalu, saya ikut serta dalam ekspedisi bawah laut di selatan Bahama bersama penyelam Jacques Mayol. Tujuannya adalah menemukan "piramida tenggelam" yang disebutkan oleh Charles Berlitz dalam bukunya yang terkenal "Segitiga Bermuda", buku best seller global. Secara tepat, piramida ini seharusnya berada di selatan terumbu Cay Sal Bank, di tengah antara Florida dan Kuba, wilayah yang dipenuhi hiu laut, cukup berbahaya. Tapi dalam penelitian, kadang-kadang kita harus berani mengambil risiko.

Kami tidak menemukan lebih banyak