Pembalikan Torus Klein

Pembalikan Torus

9 Desember 2004

halaman 6

Pembalikan torus yang tidak trivial
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. volume 293, sidang 5 Oktober 1981, seri 1, hal. 269-272

Saya akan cukup menyajikan urutan gambar ini tanpa memberikan komentar.

Pembalikan torus yang tidak trivial. Bagian pertama transformasi

Pembalikan torus yang tidak trivial. Bagian kedua transformasi

Ketika kita mencapai gambar v, tampak bahwa kini sangat mudah untuk menyatukan struktur abu-abu dan struktur merah muda untuk mengubah objek ini menjadi pelapis ganda dari botol Klein.

Pembalikan kemudian terjadi dengan pertukaran lapisan yang saling berhadapan. Berikut ini gambar yang sama dengan kode warna.

Pelapis ganda botol Klein, dengan kode warna

(Gambar ini tidak termasuk dalam laporan tahunan saya ke CNRS. Anda dapat menemukannya dalam Topologicon)

Berbagai keluarga torus.

Apa yang telah dibuktikan Stephen Smale pada tahun 1957 adalah bahwa hanya ada satu keluarga penyisipan bola, dan semua penyisipan tersebut dapat dihubungkan satu sama lain melalui homotopi. Keluarga ini membentuk grup dengan elemen identitas berupa membiarkan objek tetap seperti adanya. Muncul pertanyaan apakah hal serupa juga berlaku untuk torus. Matematikawan Ioan James dan Emery Thomas menunjukkan bahwa penyisipan torus terbagi menjadi empat benua yang tidak dapat dihubungkan satu sama lain melalui homotopi teratur.

Empat keluarga torus

Torus standar, yang digambarkan di tengah halaman, termasuk dalam keluarga yang sama dengan objek yang digambarkan pada b. Ini adalah hal yang saya tunjukkan secara tidak langsung dalam versi pembalikan torus yang saya ciptakan pada tahun 1980. Keluarga yang disebutkan pada a merepresentasikan torus yang telah mengalami putaran 360°. Bentuknya mirip torus standar, tetapi keduanya didefinisikan berdasarkan sistem peta, menggunakan dua kelompok kurva. Pada torus standar, kita menggunakan dua himpunan lingkaran yang diasumsikan sebagai bujur dan lintang. Pada torus a, kita harus menambahkan kelompok lingkaran yang menempel di atasnya dengan kelompok kedua yang berputar dalam arah berlawanan. Dapat dibuktikan bahwa tidak mungkin, melalui homotopi teratur, menyatukan kisi torus a dengan kisi torus standar (lingkaran bujur ditambah lingkaran lintang). Dalam arti inilah keduanya merupakan objek yang berbeda. Semua objek ini tentu saja dapat dikonfigurasi sebagai pelapis ganda botol Klein.

Kekuatan alat geometri adalah dapat memprediksi apa yang mungkin dan apa yang tidak mungkin. Mengubah torus standar menjadi torus pada gambar b: ya. Berpindah dari c ke d: tidak.

Ini menghindarkan kita dari membuang waktu secara sia-sia, dan justru mendorong kita untuk mencari hal-hal yang sama sekali tidak jelas, seperti membalikkan bola. Hal serupa berlaku dalam semua ilmu pengetahuan. Terkadang orang-orang melewatkan pendekatan yang produktif selama bertahun-tahun atau bahkan berabad-abad hanya karena menganggapnya mustahil dilakukan. Saya menghabiskan beberapa tahun hidup saya untuk membangun teori penghilangan gelombang kejut di sekitar objek yang bergerak dengan kecepatan supersonik dalam gas, menggunakan medan gaya Laplace dari "MHD". Seorang mahasiswa bahkan menyelesaikan disertasinya tentang topik ini di bawah bimbingan saya, dan kami menerbitkan hasil penelitian ini dalam berbagai jurnal dengan dewan peninjau dan konferensi ilmiah. Topik ini baru mulai muncul permukaan, tiga puluh tahun kemudian. Diperkirakan Amerika Serikat memiliki pesawat hipersonik yang mampu bergerak hingga Mach 10 tanpa menciptakan gelombang kejut (dan khususnya tanpa mengalami tekanan termal yang luar biasa akibat kompresi udara di belakang "dampak" tersebut). Ini adalah mitos terkenal tentang Aurora, pesawat yang bergerak di ketinggian tempat terjadi aurora kutub, antara 80 hingga 150 km. Aurora juga merupakan cikal bakal roket ruang angkasa masa depan yang, memanfaatkan udara, akan jauh lebih hemat dibandingkan roket CNES. Di Prancis, tidak mungkin memulai penelitian semacam ini (saya memiliki ide ini pada tahun 1975), karena orang-orang, terutama di CNRS, menganggapnya sama sekali tidak masuk akal. Hasilnya adalah keterlambatan tiga puluh tahun dibandingkan Amerika Serikat, yang menurut saya tidak mungkin tertinggal.


Blague a tabac

Untuk melengkapi, perlu disebutkan versi pembalikan bola yang menggunakan blague a tabac sebagai objek utama. Ini adalah benda yang umum dulu saat saya muda, tetapi kini sulit ditemui. Orang pertama yang menggambar urutan ini adalah Georges Francis. Beberapa tahun terakhir ini saya bekerja pada versi polihedral dari versi ini, yang sudah menghasilkan model pusat yang cukup indah. Namun, untuk menunjukkannya kepada Anda, saya harus terlebih dahulu menemukan kembali model tersebut. Saya harap segera, karena ini salah satu objek paling menarik yang pernah saya ciptakan.

Halaman sebelumnya Halaman berikutnya

Kembali ke Panduan Kembali ke Halaman Utama

Jumlah kunjungan halaman ini sejak 8 Desember 2004: