Pembalikan Torus Klein

Pembalikan Torus

5 Desember 2004

halaman 6

Pembalikan torus yang tidak trivial
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. volume 293, sidang 5 Oktober 1981, seri 1, hal. 269-272

Saya akan cukup menyajikan urutan gambar-gambar berikut tanpa memberikan komentar.

Pembalikan torus yang tidak trivial. Bagian pertama transformasi

Pembalikan torus yang tidak trivial. Bagian kedua transformasi

Ketika kita mencapai gambar v, tampak bahwa kini sangat mudah untuk menyatukan struktur abu-abu dan struktur merah muda untuk mengubah objek ini menjadi pelapis ganda botol Klein.

Pembalikan kemudian terjadi melalui pertukaran lapisan yang saling berhadapan. Berikut ini gambar yang sama dengan kode warna.

Pelapis ganda botol Klein, dengan kode warna

(Gambar ini tidak termasuk dalam laporan tahunan saya ke CNRS. Anda dapat menemukannya dalam Topologicon)

Berbagai kelompok torus.

Apa yang telah dibuktikan Stephen Smale pada tahun 1957 adalah bahwa hanya ada satu kelompok imersi bola, dan semua imersi tersebut dapat dihubungkan satu sama lain melalui homotopi. Kelompok ini membentuk suatu grup di mana elemen netralnya adalah membiarkan objek tetap seperti adanya. Muncul pertanyaan apakah hal serupa juga berlaku untuk torus. Matematikawan Ioan James dan Emery Thomas menunjukkan bahwa imersi torus terbagi menjadi empat benua, di mana tidak mungkin berpindah dari satu ke benua lainnya menggunakan homotopi teratur.

Empat kelompok torus

Torus standar, yang digambarkan di tengah halaman, termasuk dalam kelompok yang sama dengan objek yang digambarkan pada b. Ini adalah hal yang saya tunjukkan secara tidak langsung dalam versi pembalikan torus yang saya ciptakan pada tahun 1980. Kelompok yang disebutkan pada a merepresentasikan torus yang telah mengalami putaran 360°. Bentuknya mirip dengan torus standar, tetapi keduanya didefinisikan berdasarkan sistem peta, menggunakan dua kelompok kurva. Pada torus standar, kita menggunakan dua himpunan lingkaran yang diasumsikan sebagai meridian dan paralel. Pada torus a, kita harus menambahkan kelompok lingkaran yang menempel di atasnya dengan kelompok kedua yang berputar dalam arah berlawanan. Dapat dibuktikan bahwa tidak mungkin, menggunakan homotopi teratur, untuk menyatukan jaringan torus a dengan jaringan torus standar (lingkaran meridian ditambah lingkaran paralel). Dalam arti inilah keduanya merupakan objek yang berbeda. Semua objek ini tentu saja dapat dikonfigurasi sebagai pelapis ganda botol Klein.

Kekuatan alat-alat geometri adalah dapat memprediksi apa yang mungkin dan apa yang tidak mungkin. Mengubah torus standar menjadi torus pada gambar b: ya. Berpindah dari c ke d: tidak.

Ini menghindarkan kita dari membuang waktu secara sia-sia, dan justru mendorong kita untuk mencari hal-hal yang sama sekali tidak jelas, seperti membalikkan bola. Hal serupa berlaku di semua bidang ilmu pengetahuan. Terkadang orang melewatkan pendekatan yang produktif selama bertahun-tahun bahkan berabad-abad hanya karena menganggapnya mustahil dilakukan. Saya menghabiskan beberapa tahun hidup saya untuk membangun teori penghilangan gelombang kejut di sekitar objek yang bergerak dengan kecepatan supersonik dalam gas, menggunakan medan gaya Laplace dari "MHD". Seorang mahasiswa bahkan menyelesaikan disertasinya tentang topik ini di bawah bimbingan saya, dan kami menerbitkan hasil penelitian ini di berbagai jurnal dengan dewan peninjau dan konferensi ilmiah. Topik ini baru mulai muncul permukaan, tiga puluh tahun kemudian. Diperkirakan Amerika Serikat memiliki pesawat hipersonik yang dapat bergerak hingga Mach 10 tanpa menghasilkan gelombang kejut (terutama tanpa mengalami tekanan termal hebat akibat kompresi udara di belakang "dengungan" tersebut). Ini adalah mitos terkenal tentang Aurora, pesawat yang bergerak di ketinggian di mana terjadi aurora kutub, antara 80 hingga 150 km. Aurora juga merupakan gambaran awal dari roket masa depan yang, berlandaskan udara, akan jauh lebih hemat dibandingkan roket CNES. Di Prancis, tidak mungkin memulai penelitian semacam ini (saya memiliki ide ini pada tahun 1975), karena orang-orang, khususnya di CNRS, menganggapnya benar-benar tidak masuk akal. Hasilnya adalah keterlambatan tiga puluh tahun dibandingkan Amerika Serikat, menurut saya yang tidak dapat dikejar lagi.


Lelucon pipa tembakau

Untuk melengkapi, perlu disebutkan versi pembalikan bola yang menggunakan pipa tembakau sebagai objek utama. Ini adalah benda yang biasa ditemui ketika saya masih muda, tetapi kini hampir tidak lagi ditemui. Orang pertama yang menggambar urutan ini adalah Georges Francis. Beberapa tahun terakhir saya bekerja pada versi polihedral dari versi ini, yang sudah menghasilkan model pusat yang cukup indah. Namun, untuk menunjukkannya kepada Anda, saya harus bisa menemukannya kembali. Saya harap segera, karena ini adalah salah satu objek paling menarik yang pernah saya ciptakan.

Halaman sebelumnya Halaman berikutnya

Kembali ke Panduan Kembali ke Halaman Utama

Jumlah kunjungan halaman ini sejak 8 Desember 2004: