7
Elemen
g
p dari grup Poincaré Gp didefinisikan oleh suatu deret parameter {
p
i}, yang jumlahnya, seperti telah kita sebutkan sebelumnya, mewakili
dimensi grup
. Matriks
d g
(g = e)
terdiri atas besaran-besaran {
dp
i} . Oleh karena itu, aplikasi di atas berbentuk:
(81)
Dengan kata lain, kepada suatu himpunan skalar
dp
i diberikan korespondensi dengan jumlah skalar yang sama
dp
i
'. Dualitas didefinisikan dengan mengasumsikan invariansi suatu skalar, menurut:
(82)
n menyatakan dimensi grup (sepuluh, untuk grup Poincaré). Skalar Ji mewakili komponen-komponen momentum, dengan jumlah yang sama.
Kita memutuskan untuk memecah momentum ini
J menjadi dua objek. Yang pertama adalah matriks
M antisimetris berukuran (4,4), sehingga memiliki enam komponen, dan yang kedua adalah "kuadrivektor"
P, matriks berukuran (4,1):
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Kita tuliskan hasil kali skalar dalam bentuk:
(85)
Tr berarti "trace dari", dan kita akan memperoleh:
(86)
bentuk linier yang invariansinya menjamin dualitas.
dengan:
(87)
(87b)
(87c)
tetapi
GG
= 1
maka ini bernilai:
(88)
Identifikasi suku-suku dalam
y (89)
Artinya:
(90)
----> Di sini lagi-lagi mengikuti detail perhitungan matriks. Jika Anda ingin,
dengan mengklik di sini
Anda dapat langsung menuju hasilnya.
Dalam trace, kita dapat melakukan permutasi sirkuler dari suku-suku.
(90a)
(90b)
(90c)
suku kedua di ruas kanan sama dengan hasil kali matriks baris dengan matriks kolom.
Ini sama dengan trace dari hasil kali terbalik (berikut ini secara skematis, hasil kali matriks baris dengan matriks kolom):
(90d)
Dalam trace ini, saya dapat melakukan permutasi sirkuler:
(90e)
Dari sini:
(90f)
(90g)
Di sini kita akan menerapkan kembali teorema tentang trace matriks yang merupakan hasil kali matriks lain dengan matriks simetris.
Setiap matriks dapat disimetriskan atau diantisimetriskan. Selain itu, trace dari hasil kali matriks dengan matriks simetris adalah nol.
(90h)
Saya dapat menerapkan hal ini pada matriks (90i)
karena kita mengambil trace
(90j)
(90k) = simetris ( ) + antisimetris ( )
tetapi:
(90l)
maka:
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
dan:
(90q)
akhirnya:
(90r)
Dengan mengelompokkan dan mengubah posisi tanda prima, saya memperoleh aksi grup saya:
Gambar
Kembali ke sub-ringkasan "grup dan fisika"