8
(91)
Aksi ko-adjoint ini dapat ditulis dalam bentuk matriks.
Matriks dari grup Poincaré adalah:
(92)
transpose-nya adalah:
(93)
Pertimbangkan matriks berikut:
(94)
Artinya kita akan menuliskan momentum
(95)
Jp = {
M,
P }
dalam bentuk matriks dan membentuk hasil kali:
(96)
(97)
(98)
yang dapat saya identifikasi sebagai matriks:
(99)
Dengan demikian, Jp adalah momentum grup Poincaré dalam bentuk matriks. Maka aksi ko-adjoint dapat ditulis sebagai:
(100)
Sebagai latihan, pembaca dapat memverifikasi, berdasarkan aksioma yang diberikan, bahwa ini memang merupakan suatu aksi.
Momentum grup Poincaré dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai berikut:
(101)
Matriks ini bersifat antisimetris (yang berarti diagonal utamanya terdiri dari nol).
M adalah matriks:
(102)
Dinyatakan secara eksplisit:
(103)
Ini memang merupakan matriks antisimetris, seperti yang diasumsikan sejak awal, bergantung pada enam parameter:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Tiga komponen terakhir (fx, fy, fz) adalah komponen dari suatu vektor, yaitu vektor-
perpindahan f
:
(105)
Tiga komponen pertama (lx, ly, lz) adalah komponen independen dari suatu matriks antisimetris (3,3), yaitu
rotasi l
:
(106)
Dengan demikian:
(107)
Vektor
P adalah
vektor empat momentum-energi
:
(108)
Kita kemudian dapat mengekspresikan momentum grup Poincaré secara umum:
(109)
Dapat diverifikasi bahwa ini memang merupakan objek dengan sepuluh komponen (jumlah yang sama dengan dimensi grup).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p , f , l
}
Kembali ke sub-bagian "grup dan fisika"