9
Partikel dengan spin.
Kelompok Poincaré menggambarkan gerakan relativistik dari suatu objek titik. Secara serupa, kelompok Bargmann, yang ekspresinya akan diberikan lebih lanjut, menggambarkan gerakan non-relativistik dari suatu objek titik, yang kemudian disebut "titik massa".
Dengan demikian, teknik ini—perhitungan aksi ko-adjoint kelompok pada ruang momentum—telah memungkinkan munculnya elemen tersembunyi, atribut dari objek: komponen-komponen momentum.
Yang menarik adalah bahwa pendekatan ini, yang dikembangkan oleh Souriau, membuat munculnya objek-objek kunci dalam fisika sebagai objek murni geometris. Ia pun telah melakukan pekerjaan tanpa preceden dalam hal geometrisasi fisika.
Di luar energi dan momentum, komponen-komponen lain—"putaran" dan "perpindahan"—cenderung membingungkan fisikawan. Apa artinya itu?
Ekspresi komponen-komponen momentum jelas bergantung pada sistem koordinat yang dipilih.
Kemungkinan terpendek adalah kembali sejenak ke kasus non-relativistik, atau ke bentuk aksi ko-adjoint yang muncul dari analisis kelompok Bargmann.
(111)
Rumus misterius. Apa gunanya? Bagaimana cara kerjanya?
Dalam kotak di atas, fisikawan akan mengenali beberapa objek yang sudah dikenal:
(112)
hanyalah dua bentuk dari vektor kecepatan { vx , vy , vz }, yang pertama dalam bentuk matriks kolom dan yang kedua dalam bentuk matriks baris. Hasil kali kedua matriks ini adalah skalar:
(113)
sesuatu yang mulai menyerupai energi kinetik.
m v adalah momentum.
Fisikawan tradisional, dalam konteks dinamika partikel titik, hanya mengenal tiga hal:
- Massa m
- Momentum m v
- Energi kinetik 1/2 mv²
Ya, tetapi kecepatan v terhadap apa?
Sebuah kelompok juga merupakan pandangan terhadap sesuatu. Kita bisa menganggap bahwa dengan kelompok, kita membawa objek (seperti yang telah kita lihat pada kelompok Euclid), terhadap pengamat yang diasumsikan tetap, atau, jika objek tetap, kita mengamatinya dari sudut pandang yang berbeda.
Jika kita memilih pendekatan perpindahan atau transportasi objek, dalam konteks kelompok dinamis—kelompok-kelompok fisika (berbeda dengan kelompok Euclid di mana waktu tidak muncul)—kita harus mengatakan bahwa kita memberi gerak pada objek, memberikan kecepatan v dan energi E padanya.
Jika kita mengambil sudut pandang yang berlawanan: menganggap objek tetap dan mempertimbangkan diri kita sendiri yang bergerak, maka apa artinya kelompok-kelompok ini?
Kelompok Euclid kemudian berarti: "Dilihat dari tempat lain dan dari sudut pandang yang berbeda." "Tempat lain" adalah vektor translasi:
(114)
"Sudut pandang yang berbeda" adalah matriks rotasi a, yaitu rotasi dalam ruang (yang bisa dijelaskan dengan sudut Euler, meskipun kita tidak akan melakukannya di sini).
Dalam konteks kelompok dinamis, pandangan ini—sudut pandang terhadap "hal-hal"—harus diperkaya. Tetap dalam konteks kelompok Bargmann, memperkenalkan kecepatan v berarti bahwa pengamat yang mengamati titik massa dari tempat lain (vektor translasi c), dari sudut pandang yang berbeda (matriks rotasi a), juga sedang bergerak, dengan kecepatan v relatif terhadap titik massa yang diasumsikan diam.
Dan, untuk melengkapi, untuk memperkeruh situasi, pengamat ini tidak bergerak dalam waktu yang sama dengan partikel, titik massa yang diamati. Ia terlambat sebesar selang waktu Δt. Dengan kata lain, ia mengamati dari tempat lain, tetapi itu adalah tempat lain yang bersifat ruang-waktu, sesuai dengan vektor translasi ruang-waktu:
(115)
Dengan mengambil jarak pandang seperti ini terhadap titik massa tersebut, apa yang saya amati? Pertama, bahwa: m' = m
Ini tidak memengaruhi massanya.
Saya bisa mempermudah hidup saya dengan menghilangkan rotasi. Sudah cukup rumit mengamati titik massa dari tempat lain, dilihat dari waktu yang berbeda, terlambat, berada di atas skateboard yang bergerak dengan kecepatan v. Apakah benar-benar perlu pula memutar kepala?
Tidak. Mari kita ambil a = 1.
Namun, detail ini biasanya diabaikan dalam perhitungan. Aksi ko-adjoint, dengan spesifikasi ini, menjadi:
(117)
Kata "mengamati" di sini harus dipahami secara etimologis. Apa yang saya lakukan ketika saya mengamati suatu situasi, langit, medan pertempuran, film yang diambil pesawat mata-mata?
Seorang panitera akan menulis:
- Mengingat keadaan tempat...
Pandangan statis, sesuai dengan kelompok Euclid. Panitera mengamati objek-objek dari jarak c, pada saat yang sama (Δt = 0), pada prinsipnya diam (v = 0). Dalam kasus tertentu, dari sudut tertentu, dari "sudut tertentu".
Seorang jenderal yang berjalan-jalan di pesawat pengintaian adalah semacam panitera yang bergerak (v ≠ 0).
Namun seorang kepala staf yang menonton film dari pesawat pengintaian, atau drone, menghadapi situasi yang terlambat dalam waktu. Ia harus berkata pada dirinya sendiri:
- Mari kita pertimbangkan sasaran, dilihat dari titik tertentu, dalam kondisi belokan miring, dengan kecepatan tertentu, dan lebih lanjut seperti yang tampak dua jam sebelumnya...
Sasaran tidak memiliki kecepatan khusus. Tidak mungkin menganggapnya tetap, meskipun itu "instalasi tetap". Bahkan Bumi bergerak, Matahari juga, galaksi juga, dan sebagainya.
Kembali ke sub-bagian "kelompok dan fisika"