Souriau tinggal di sebuah apartemen di kota tua Aix. Pintu yang menghadap ke jalan sangat indah. Di ruang masuk terparkir sebuah kendaraan yang agak aneh: sebuah kursi berjalan zaman dulu yang milik pemilik tempat tinggal, seorang gadis, seorang arkeolog, saya kira. Kursi itu diletakkan menempel di dinding. Tinggal mencari dua penunggang, memasukkan dua batang kayu panjang ke dalam cincin, lalu duduk untuk berkeliling. Bukaan-bukaannya berlapis kaca: kaca samping bisa diturunkan, bukan dengan engkol, tetapi dengan menggerakkan tali kulit, seperti yang biasa dilakukan di gerbong kereta api masa kecil saya.
Semua ini sangat membangkitkan imajinasi. Saya sadar bahwa saya belum pernah naik kursi berjalan. Saya yakin, di masa pengangguran seperti sekarang, banyak orang bisa mencari nafkah dengan menyediakan rute pertama kursi berjalan teratur di kota tua Aix. Cukup membuat kendaraan yang menyerupai kursi zaman dulu. Ini tidak terlalu sulit. Lalu, dapatkan dua pakaian bordir, dua wig, dan maju saja. Rute: Cours Mirabeau. Itu sudah cukup. Setelah itu, tinggal berimajinasi, punya sedikit kreativitas.
Jean-Marie tinggal sendirian bersama kucingnya, Pioum, di apartemennya yang luas, penuh ukiran emas dan panel kayu. Pioum sangat menggemaskan. Namun saya tidak terlalu tertarik pada kucing. Tapi kucing ini sangat ramah dan penuh kasih.
Kami biasanya bekerja di dapur, satu lantai di atas. Ruangan kecil di bawah atap, yang sempitnya kontras dengan ruangan besar di lantai bawah. Setiap kali Jean-Marie berusaha membuat saya minum minuman kesukaannya: Fernet-Branca, berbahan dasar artichoke, yang menurut saya sangat buruk, tetapi dia menganggapnya memiliki segala kebaikan.
Ketika dia berkeliling kota, dia membawa GPS-nya, yang tak pernah lepas darinya. Memang menarik melihat diri sendiri diarahkan oleh satelit yang berjarak empat puluh ribu kilometer dari jalan tempat kita berjalan. Agar sinyal lebih baik, Souriau cenderung berjalan di tengah jalan, mata terpaku pada layar kristal cair. Efektif, tampaknya, tetapi tetap cukup berbahaya.
Saya merasa kita bersenang-senang bersama. Suatu malam bulan Desember, saya berkunjung ke rumahnya, dan berikut ini percakapan yang terjadi.
-
Aku akan bicara tentang grup. Kau ingat aksioma-aksionya?
-
Ya, ada enam. Yaitu:
1 - Ada elemen-elemen a, b, c, ... yang termasuk dalam himpunan E
2 - Ada operasi internal, dinotasikan o ("bulat"), yang memungkinkan menggabungkan dua elemen dari suatu himpunan.
a termasuk dalam himpunan E
b termasuk dalam himpunan E
a o b termasuk dalam himpunan E
3 - Operasi ini bersifat asosiatif:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - Ada elemen netral e sehingga:
a o e = e o a = a
5 - Setiap elemen a dalam himpunan memiliki invers, dinotasikan a⁻¹, sehingga:
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
Apakah itu lima?
-
Terakhir, lima, empat, atau satu. Tidak ada aturan mutlak dalam penomoran aksioma. Kita juga bisa menggabungkan aksioma 1 dan 2 menjadi satu:
-
Ada elemen-elemen a, b, c, dst., yang termasuk dalam himpunan E, dilengkapi dengan operasi komposisi internal yang memenuhi:
a termasuk dalam himpunan E
b termasuk dalam himpunan E
a o b termasuk dalam himpunan E
Ini setara.
-
Baik, lima, empat, tidak masalah. Kemana kau ingin menuju?
-
Aku akan menghilangkan aksioma 4 dan 5 yang kau sebutkan, yaitu definisi elemen netral dan invers, dan menggantinya dengan aksioma sandwich. Secara keseluruhan, aksiomanya adalah:
1 - Ada elemen-elemen a, b, c, ... yang termasuk dalam himpunan E
2 - Ada operasi internal, dinotasikan o ("bulat"), yang memungkinkan menggabungkan dua elemen dari suatu himpunan.
a termasuk dalam himpunan E
b termasuk dalam himpunan E
a o b termasuk dalam himpunan E
3 - Operasi ini bersifat asosiatif:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - Misalkan tiga elemen a, b, c yang termasuk dalam himpunan E.
Pertimbangkan persamaan:
a o y o b = c
Persamaan ini memiliki solusi unik.
Inilah yang kusebut aksioma sandwich, di mana "ham" y diletakkan di antara elemen-elemen a dan b, sedangkan c adalah entitas sandwich. Aksioma ini berarti:
Kita selalu bisa mengeluarkan ham dari sandwich.
Dan saya katakan bahwa aksioma-aksioma ini mendefinisikan grup, dan setara dengan yang sebelumnya.
-
Solusi unik y adalah elemen dari himpunan E, karena operasi bersifat internal dan asosiatif.
-
Tentu saja, itu jelas.
-
Tapi lebih baik jika dikatakan. Saya tidak tahu bagaimana kau akan kembali ke dua aksioma tentang elemen netral dan eksistensi invers, tetapi setidaknya saya mengerti apa yang mendorong ide ini.
-
Aku berpikir, "untuk apa itu?"
-
Persis. Untuk apa gunanya memiliki elemen netral? Dalam bentuknya, ini berarti "jika aku punya himpunan E dan elemen netral, aku bisa menggabungkan semua elemen himpunan ini dengan elemen netral dan hasilnya tetap sama". Itu tidak penting bagiku. Sama halnya, untuk apa gunanya invers? Saat melakukan perhitungan pada grup, pada benda apa pun, kita selalu menyelesaikannya dengan perkalian kanan atau kiri oleh elemen atau inversnya agar muncul a o a⁻¹ atau a⁻¹ o a, yang diganti dengan e, lalu b o e atau e o b yang diganti dengan b. Aksioma sandwich-mu bersifat "fungsional".
-
Kalau kau mau. Mari kita bahas teorema-teorema yang muncul dari aksioma sandwich. Yang pertama adalah:
I - Ada elemen netral yang, ketika dikomposisikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan dirinya sendiri:
e = e o e
II - Elemen netral ini unik.
Bukti:
Mulai dari aksioma sandwich. Persamaan a o y o b = c memiliki solusi unik y.
Ini juga benar jika b = c = a, sehingga a o y o a = a memiliki solusi unik. Kalikan di kanan dengan y:
a o y o a o y = a o y
Sebut a o y = e
Ini adalah elemen dari himpunan, karena a dan y termasuk himpunan dan operasi bersifat internal. Jadi ada elemen dalam himpunan yang memenuhi:
e o e = e
Teorema I terbukti. Sekarang ke unik, teorema II. Jika tidak unik, akan ada elemen lain dalam himpunan, sebut saja f, yang memenuhi:
f o f = f
Kita punya:
e o e = e
Kalikan di kanan dengan f:
e o e o f = e o f
Kalikan lagi di kanan dengan e:
e o e o f o e = e o f o e
Gunakan asosiatif:
e o (e o f) o e = e o f o e
Ini dua sandwich. Sebut mereka:
p = e o (e o f)
q = e o f o e
Menurut aksioma sandwich, kita bisa "mengeluarkan ham", artinya menghitung ekspresi (e o f) dan f yang akan sama, karena p = q. Jadi:
(e o f) = f
Ulangi dari pernyataan yang diberikan untuk elemen kedua f:
f o f = f
Kalikan di kanan dengan e, dua kali di kiri:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
Gunakan asosiatif:
e o (e o f) o f = e o e o f
Dengan menggunakan aksioma sandwich sekali lagi, kita simpulkan:
e o f = e
Jadi:
e = f
Teorema III: Jika aku mengambil elemen e yang "sama dengan kuadratnya", maka ini menyiratkan a o e = a
Bukti:
Kita tetap gunakan aksioma sandwich. Mulai dari definisi e:
e o e = e
Kalikan di kanan secara berturut-turut dengan a dan e:
e o e o a o e = e o a o e
Gunakan asosiatif:
e o (e o a) o e = e o a o e
Jadi:
e o a = a
Kembali dari e o e = e, kalikan di kiri secara berturut-turut dengan a dan e:
e o a o e o e = e o a o e
Gunakan asosiatif:
e o (a o e) o e = e o a o e
Dari sini:
a o e = a
Teorema III terbukti.
Sekarang ke teorema IV (eksistensi invers, dinotasikan a⁻¹).
Pernyataan: untuk suatu elemen dalam himpunan, ada satu dan hanya satu elemen yang merupakan solusi dari persamaan:
a o y o a = a
Kita sebut elemen ini a⁻¹ dan menyebutnya invers dari a. Elemen ini memenuhi sifat:
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
Bukti.
Kehadiran dan keunikan elemen ini adalah konsekuensi langsung dari aksioma sandwich, jika dirumuskan sebagai:
Ketika dua potong roti sama satu sama lain dan sama dengan sandwich, maka ham adalah invers dari potong roti (atau sandwich).
a o y o a = a
Kita bisa gunakan asosiatif dengan dua cara:
(a o y) o a = a
a o (y o a) = a
Kita tahu bahwa:
e o a = a
a o e = a
Jadi solusi y memenuhi:
a o y = e
y o a = e
Tunjukkan bahwa solusi ini unik. Jika tidak, ada solusi lain:
a o z = e
z o a = e
Kalikan persamaan pertama dengan y di kiri:
y o a o z = y o e
(y o a) o z = y
Tapi y o a = e
Jadi:
z = y
Kita sebut solusi ini a⁻¹, solusi dari persamaan unik:
a o a⁻¹ o a = a
Dengan demikian, himpunan aksioma baru menghasilkan sifat yang sama seperti yang secara klasik mendefinisikan grup.
Kita bisa mendefinisikan grup dengan himpunan aksioma baru ini:
Definisi grup.
1 - Ada elemen-elemen a, b, c, ... yang termasuk dalam himpunan E
2 - Ada operasi internal, dinotasikan o ("bulat"), yang memungkinkan menggabungkan dua elemen dari suatu himpunan.
a termasuk dalam himpunan E
b termasuk dalam himpunan E
a o b termasuk dalam himpunan E
3 - Operasi ini bersifat asosiatif:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - Misalkan tiga elemen a, b, c yang termasuk dalam himpunan E.
Pertimbangkan persamaan:
a o y o b = c
Persamaan ini memiliki solusi unik.
Jika elemen-elemen dalam himpunan E, dilengkapi operasi komposisi internal, memenuhi keempat aksioma ini, saya katakan mereka membentuk grup.
Teorema: Elemen netral adalah invers dari dirinya sendiri. Definisi baru elemen netral ini, dengan satu persamaan, menghasilkan bukti berbeda untuk sifat ini.
e o e = e
Ini adalah definisi elemen khusus e. Namun aksioma sandwich menyebabkan persamaan ini menjadi sifat (bukan definisi) dari invers.
Teorema lain: invers dari invers sama dengan elemen itu sendiri:
(a⁻¹)⁻¹ = a
a⁻¹ o a = e
a o a⁻¹ = e
a adalah invers dari a⁻¹. Dari sini sifatnya terbukti.
Tunjukkan bahwa:
(a o b)⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹
Hitung:
a o b o b⁻¹ o a⁻¹
dan
b⁻¹ o a⁻¹ o a o b
Tunjukkan bahwa kedua kuantitas ini sama dengan e.
a o (b o b⁻¹) o a⁻¹ = a o e o a⁻¹ = a o a⁻¹ = e
Sama untuk ekspresi lainnya.
-
Ini pendekatan berbeda terhadap konsep grup.
-
Ontologi grup.
-
Kalau kau mau.
-
Tapi sesuatu mengatakan padaku bahwa hal ini akan terbukti produktif.
-
Sekarang, lupakan semua, bahkan aksioma sandwich. Pertimbangkan himpunan E dengan operasi komposisi internal o yang asosiatif. Anggap dalam himpunan ini ada elemen yang, ketika dikomposisikan dengan semua elemen lain, berperan sebagai elemen netral:
a o e = e o a = a
-
Apakah itu unik?
-
Jika ada, pasti unik, bisa dibuktikan.
-
Ah iya, benar.
-
Aku katakan dua elemen a dan b saling berhubungan oleh relasi invers jika:
a o b = b o a = e
Jika kita punya a, maka b adalah inversnya. Aku katakan jika kita batasi himpunan pada himpunan bagian elemen yang memiliki invers, himpunan bagian ini membentuk grup. Ini cara untuk membangun grup. Dengan kata lain, kita pilih dari himpunan, elemen-elemen yang memenuhi sifat ini, dan aku katakan bahwa ini cukup untuk menyatakan bahwa himpunan bagian ini membentuk grup.
Harus dibuktikan bahwa sifat ini bersifat internal.
-
Maksudmu apa?
-
Misalkan dua elemen a dan a' yang memenuhi sifat ini, artinya:
a o b = b o a = e
a' o b' = b' o a' = e
a memiliki invers b
a' memiliki invers b'
Mereka berada dalam himpunan bagian yang dimaksud. Harus dibuktikan bahwa a o a' juga memiliki invers.
Hilangkan tanda "bulat" yang berat.
a' o b' = e
Kalikan di kiri dengan a dan di kanan dengan b:
a o a' o b' o b = a o e o b = a o b = e
Jadi:
(a o a') (b' o b) = e
Kembali dari:
b o a = e
Kalikan di kiri dengan b' dan di kanan dengan a':
b' o b o a o a' = b' o e o a' = b' o a' = e
(b' o b) (a o a') = e
Jadi elemen yang diperoleh dari komposisi a dan a', yang keduanya memiliki invers, juga memiliki invers.
-
Tersisa membuktikan bahwa himpunan bagian ini benar-benar membentuk grup.
-
Dan untuk itu, aku akan menunjukkan bahwa himpunan bagian ini memenuhi aksioma sandwich, artinya:
a o y o b = c
memiliki solusi unik y.
-
Aku mengerti. Secara aksioma, kau melakukan kebalikan dari tadi. Sebelumnya kau diberi aksioma sandwich dan menunjukkan bahwa ini mengimplikasikan eksistensi invers. Sekarang kau mengasumsikan semua elemen dalam himpunan memiliki invers, dan akan menemukan cara, menggunakan sifat ini, untuk mendapatkan kembali aksioma sandwich.
-
Cara terbaik membuktikan bahwa persamaan memiliki solusi unik adalah dengan membangunnya. Kalikan persamaan di atas di kiri dengan a⁻¹ dan di kanan dengan b⁻¹.
a⁻¹ o a o y o b o b⁻¹ = a⁻¹ o c o b⁻¹
(a⁻¹ o a) o y o (b o b⁻¹) = a⁻¹ o c o b⁻¹
y = a⁻¹ o c o b⁻¹
- Jadi y memang solusi dari persamaan:
a o y o b = c
Dengan memasukkan solusi yang dibangun, kita dapat:
a o (a⁻¹ o c o b⁻¹) o b = c
Dengan cara ini kita mengasumsikan bahwa kita bisa memainkan tanda kurung, memperluas asosiatif. Kita sudah mengasumsikan (salah satu aksioma) bahwa dua elemen bisa dipisahkan dari rangkaian operasi:
a o b o (c o d)
a o (b o c) o d
(a o b) o c o d
(a o b) o (c o d)
Kita harus membuktikan bahwa diperbolehkan memasukkan tiga elemen antara dua tanda kurung. Tapi kita terima ini tanpa bukti.
Aplikasi:
Pertimbangkan himpunan bilangan real dengan operasi perkalian x sebagai operasi komposisi. Operasi ini bersifat internal, tetapi bukan grup menurut aksioma baru ini. Karena persamaan yang mendefinisikan elemen e:
e o e = e
memiliki dua solusi:
e = +1 dan e = -1
Pertimbangkan konstruksi sebelumnya. Kita punya himpunan (bilangan real), operasi komposisi, asosiatif (perkalian). Himpunan ini memiliki elemen netral 1, yang tidak didefinisikan sebagai solusi dari e o e = e, tetapi sebagai elemen yang, ketika dikomposisikan dengan semua elemen lain (termasuk dirinya sendiri), menghasilkan elemen itu sendiri, artinya definisi klasik:
Untuk semua a dalam himpunan E, berlaku:
e o a = a o e = a
Jika kita mulai dari definisi klasik invers:
a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e
Kita telah menunjukkan bahwa himpunan bagian elemen yang memiliki invers membentuk grup. Jadi bilangan real tanpa nol membentuk grup.
Ambil matriks persegi berukuran (n,n). Mereka memiliki elemen netral:
dengan nol di luar diagonal utama, yang diisi angka "1"
Matriks yang dapat dibalik membentuk grup, yang disebut Grup Linier GL(n).
-
Aku suka sekali dengan semua ini.
-
Hmmm... ini hanya variasi dari aksiomatika klasik. Aku telah mempresentasikannya di sebuah seminar epistemologi di Grenoble, seminggu yang lalu.
LANJUTAN