Italia: Andrea Sambusetti, Universitas Roma
Klik di sini
untuk menampilkan gambar model dalam skala 1:1, yang dapat dicetak dan dipotong.
Dengan menyalin empat contoh pada kertas karton Bristol berwarna berbeda,
Anda dapat membangun model sendiri,
mengikuti petunjuk per perakitan.
Anda pasti telah melihat benda aneh berputar tanpa henti di bagian kiri halaman awal situs ini. Apa itu?
Suatu hari, ketika saya menemukan waktu, saya akan memasang deskripsi tentang pembalikan bola di situs ini, seperti yang saya gambarkan dalam edisi Pour la Science bulan Januari 1979, yaitu... 22 tahun yang lalu! Semuanya akan membutuhkan banyak detail dan pengantar. Apa artinya "membalikkan bola"? Bola memiliki makna berbeda bagi orang awam dan bagi matematikawan-geometri. Bagi orang awam, bola hanyalah kumpulan titik-titik di ruang yang berjarak R dari titik O tertentu. Seorang ahli geometri tetap menyebut "bola", bahkan untuk objek yang merupakan "bola yang terdistorsi", seperti kentang misalnya. Untuk memahami konsep-konsep ini lebih tepat, dapatkan CD Lanturlu yang berisi komik "Topologicon". Namun, seorang matematikawan melangkah lebih jauh. Permukaan disebut "teratur" ketika di setiap titiknya dapat didefinisikan bidang singgung. Hal ini sudah memungkinkan membayangkan tak hingga banyaknya deformasi teratur dari bola, dalam berbagai bentuk tak terbatas seperti kentang, dengan luas permukaan yang dapat diubah secara sewenang-wenang. Namun, dalam alam semesta fisik, seseorang yang mencoba membalikkan bola (mengalihkan permukaan dalam ke luar) akan menghadapi ketidakmungkinan untuk membuat permukaannya menembus dirinya sendiri. Ketika asumsi ini diterima, yaitu melarang permukaan menembus dirinya sendiri atau bahkan hanya menyentuh, matematikawan menyebutnya "embedding" bola S2. Namun, seorang matematikawan selalu bebas melakukan apa saja. Baginya, bola adalah objek "virtual" bukan fisik, di mana penembusan lapisan dianggap mungkin. Urutan gambar di bawah ini menunjukkan bola yang menembus dirinya sendiri. Representasi semacam ini yang mengizinkan penembusan diri disebut "immersion".
Sebuah immersion memiliki himpunan interseksi diri (di sini berupa kurva melingkar sederhana). Namun, bidang singgung harus berubah secara kontinu. Dengan asumsi ini, ketika melihat gambar di atas, terlihat jelas bahwa operasi ini membawa bagian permukaan dalam (yang digambarkan hijau) ke luar. Untuk menyelesaikan pembalikan, perlu menekan bagian seperti usus ekuatorial ini. Di sini tampaknya ada masalah: penekanan ini akan menghancurkan kekontinuan bidang singgung, sehingga transformasi ini mengandung langkah yang bukan merupakan immersion.
Suatu hari, seorang matematikawan Amerika, Stephen Smale, membuktikan bahwa "bola S2 memiliki satu kelas immersion". Kalimat misterius ini menyiratkan bahwa harus mungkin untuk berpindah, melalui transformasi yang hanya terdiri dari immersion murni, dari bola "standar" ke representasi "antipodal"-nya, yaitu di mana setiap titik dipertukarkan dengan titik antipodalnya: dengan kata lain... bola yang dibalik. Raoul Bott adalah pembimbing Smale. Meskipun bukti formal dari fakta ini tampak benar, tidak ada yang tampak mampu merealisasikan secara konkret operasi pembalikan ini. Bott terus bertanya kepada Smale, "Tunjukkan bagaimana Anda berpikir untuk melakukannya"; dan Smale, yang terkenal tidak suka berpura-pura, menjawab, "Saya tidak tahu sama sekali." Smale kemudian memperoleh medali Field, setara dengan Nobel dalam matematika. Sekadar catatan, Anda mungkin bertanya-tanya mengapa tidak ada Nobel untuk matematika. Jawabannya sederhana: istrinya kabur bersama seorang matematikawan.
Hal ini berlangsung begitu selama bertahun-tahun, hingga seorang matematikawan Amerika bernama Anthony Phillips menerbitkan versi pertama pembalikan ini di Scientific American pada tahun 1967, sangat rumit. Versi kedua diciptakan pada awal tahun 1970 oleh matematikawan Prancis (tak berpenglihatan) Bernard Morin. Saya adalah orang pertama yang menggambar urutan transformasi ini, yang akan menjadi bahan artikel berikutnya di situs ini, yang cukup kaya. Namun, semua ini membawa kita pada pertimbangan berikut. Permukaan dapat direpresentasikan dalam bentuk polihedral. Kubus atau tetrahedron dapat dianggap sebagai representasi polihedral bola, dalam arti bahwa objek-objek ini memiliki topologi yang sama. Mengenai hal ini, silakan merujuk ke Topologicon saya. Selain itu, jelas bahwa jika bola dapat dibalik, maka kubus juga dapat dibalik. Transformasi yang diciptakan oleh Bernard Morin (yang saya ilustrasikan dalam artikel Januari 1979 di Pour la Science) melewati model pusat. Ada simetri dalam urutan ini. Itulah yang saya sebut "model pusat dengan empat telinga". Saya sedang terlalu cepat. Namun, karena bola dapat direpresentasikan dalam bentuk polihedral, demikian juga langkah-langkah berikut dari transformasi ini. Apa yang Anda lihat berputar di halaman awal saya adalah versi polihedral dari model pusat pembalikan bola yang saya ciptakan sekitar sepuluh tahun lalu. Keunggulan model polihedral ini terletak pada kemampuannya dibuat dari permukaan datar. Mereka juga dapat dibuat dari kertas dan gunting. Lihatlah gambar di bawah ini (saya mengucapkan terima kasih kepada teman saya Christophe Tardy, yang membuat elemen-elemen dengan ukuran tepat).
Besar
Ini adalah gambaran umum dari rancangan perakitan. Namun, untuk mencetaknya, lebih baik Anda beralih ke halaman découpage. Cetak halaman tersebut. Kemudian, dengan menggunakan salinan yang dicetak pada kertas biasa dari printer Anda, salin empat salinan identik, dua pada kertas karton Bristol hijau, dan dua pada warna kuning. Dengan menggunakan lembaran-lembaran yang dapat dipotong ini, Anda dapat membangun model pusat pembalikan kubus.
Pada elemen-elemen yang harus dipotong terdapat pasangan huruf: a, b, c, d, e, f, dst. Cukup lipat kertas sehingga huruf yang sama bertemu, lalu tetapkan bagian-bagian tersebut dengan pita perekat transparan. Gambar-gambar berikut menunjukkan cara merakit salah satu dari empat bagian. Pertama-tama, inilah cara melipat salah satu dari empat elemen:
Berikut dua dari empat elemen, dilihat dari sudut yang berbeda.
Kemudian susun agar membentuk objek dengan simetri orde empat, dengan elemen hijau dan kuning bergantian. Untuk melihatnya dalam 3D, lihatlah realisasi Tardy di bagian "realitas virtual". Model pusat telah dirakit dan juga direalisasikan dalam format "vrml" di bagian ini. Berikut ini ditampilkan dari berbagai sudut pandang:
Tidak dapat dikatakan bahwa satu sudut pandang mewakili "atas" dan yang lain "bawah", karena istilah-istilah ini sangat subjektif. Pada gambar kiri, titik "pusat" mewakili "titik ganda" (di mana dua lapisan berpotongan) dari model pusat Morin, sedangkan titik pusat gambar kanan mewakili "titik empat" dari model yang sama (di mana empat lapisan berpotongan). Saya harus sangat hati-hati dalam mengarahkan objek ini agar gambar kiri tidak menyerupai swastika. Selain itu, dari segi arsitektur, representasi polihedral model pusat Morin ini bisa menjadi proyek menarik untuk "Rumah Kebudayaan Nasional Sosialis".
Perhatian terakhir: tidak ada representasi polihedral yang baik dari pembalikan bola (atau kubus). Dengan "baik" saya maksudkan urutan model yang cukup eksplisit yang dapat dijelaskan dalam bentuk lembaran yang dapat dipotong dengan cara yang relatif mudah, seperti model di atas. Studi semacam ini layak dilakukan, bahkan oleh orang yang bukan matematikawan, misalnya seorang pematung. Lebih dari dua puluh tahun lalu saya mengajar seni patung di Ecole des Beaux-Arts di Aix en Provence, saat itu Jacques Boullier, teman dekat saya, menjabat direktur. Di tempat inilah lahir representasi pertama permukaan Boy dalam bentuk elips, kunci pembuatan persamaan implisit pertama yang diberikan oleh Apéry. Saya harus mengakui bahwa bahkan pada masa itu saya terkejut oleh imajinasi geometris para mahasiswa seni, yang sering kali melampaui imajinasi para... ahli geometri.
Penghitung dipasang pada 31 Desember 2001. Jumlah koneksi:
Kembali ke halaman Berita Terbaru
Halaman Awal
Gambar
