29 Februari 2010

Dokumen Tanpa Judul

Bisakah kita berpikir seperti kepiting?

27 Februari 2009

Kita berkomunikasi—antara lain—melalui bahasa, yang seharusnya mencerminkan struktur logika kita. Dalam bahasa kita, kita menciptakan struktur dualistik, dengan YA dan TIDAK, BENAR dan SALAH, yang mengarah pada “pemikiran Aristotelian”, yakni bahwa setiap pernyataan (seorang logisawan akan menyebutnya “proposisi”) hanya dapat bernilai BENAR atau SALAH. Inilah yang disebut prinsip pengecualian pihak ketiga.

Sayangnya, kenyataan tidak mengikuti teori ini, dan frasa-frasa kita penuh dengan proposisi yang tidak dapat ditentukan kebenarannya—yang bukan benar maupun salah, seperti:

“Saya berbohong.”

Selama satu abad lebih, para logisawan telah menghuyungkan kecerdasan luar biasa untuk mencoba membangun logika non-dualistik. Sebagai contoh, terdapat logika trivalen—logika fuzzy—yang memiliki nilai kebenaran:

BENAR, TIDAK TENTU, SALAH

Logika ini telah terbukti beroperasional dalam sistem otomasi dan pengendalian proses (di bidang teknik).

Ada pula upaya membangun logika tetravalen, dengan nilai kebenaran paling klasik:

Upaya ekstensi semacam ini ternyata tidak menghasilkan perkembangan berarti.

Dalam bukunya:

Untuk menghubungi penulis secara langsung:

Erratum Penulis memberi tahu bahwa terdapat erratum pada salah satu tabel dalam bukunya. Tabel tersebut terdapat di halaman 29, versi berwarnanya di halaman 135. Pertama-tama, terima kasih atas minat Anda terhadap karya ini dan atas keputusan membeli buku ini.

Hal semacam ini memang terjadi… Ada kesalahan cetak yang cukup menarik! Pada baris dan kolom ketiga, terdapat angka 0 yang seharusnya 1. Koreksi ini akan dikirimkan ke semua pihak dalam beberapa hari ke depan.

Selain itu, tanda = dan \ \ terletak pada diagonal: tanda garis ganda ini, bila dilihat menurut satu diagonal, menghasilkan tanda =, sedangkan menurut diagonal lainnya menghasilkan \ \ yang harus dipahami sebagai “berbeda dengan”, di tempat tanda tersebut berada.

Semoga hal ini memungkinkan Anda melanjutkan pembacaan dengan lancar. Sekali lagi, kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya (dan mohon maaf atas ketidaknyamanannya), serta tetap siap menerima pertanyaan atau temuan kesalahan cetak baru lainnya.

Gambar 2.2, diganti dengan tabel di atas

Denis Seco de Lucena mengajak kita melakukan eksplorasi yang aneh, yang mungkin tidak meninggalkan pembacanya tanpa bekas. Mari kita mulai dari kajian terhadap bahasa—langkah yang diambil semua logisawan. Penulis mengusulkan konsep transversalitas. Dalam kerangka ini, proposisi apa pun dapat dideklinasikan dalam empat bentuk, yang saling berpasangan secara simetris—dua pasang simetri. Banyak contoh dalam bahasa yang menunjukkan “transversalitas” ini, meskipun “proposisi keempat” terkadang sulit dirumuskan, bahkan tidak memiliki padanan kualifikasi dalam bahasa.

Berikut contoh di mana “transversalitas” terungkap secara jelas. Ambillah konsep gerak: terdapat empat cara “bergerak”:

Dengan segera terlihat pasangan-pasangan dan simetri-simetri yang terbentuk: mundur adalah kebalikan maju, dan sebaliknya; bergerak adalah kebalikan stagnan, dan sebaliknya.

Jika merujuk pada topologi, kita dapat menggunakan empat keterangan adverbia:

29 Februari 2010 : Sahabat saya Jacques Legalland menyarankan bahwa proposisi keempat lebih tepat dirumuskan sebagai:

Jika merujuk pada warna:

27 Februari 2010 : Jie menyarankan:

Dengan memainkan waktu:

Keterangan “tidak pernah” merupakan ekuivalen temporal dari frasa “di mana-mana tidak” (lihat di atas).

Sikap pandang ini mengingatkan saya pada teks Ummite tentang logika yang—jika saya tidak salah—menyebut empat nilai kebenaran:

Jika kita ambil nilai kebenaran logika tetravalen klasik:

27 Februari 2010 : Nilai keempat perlu diinterpretasikan ulang sebagai “tidak cocok dalam klasifikasi semacam ini”:

Ambillah bilangan real. Kita memiliki:

Proposisi keempatnya bisa:

Dalam hal implikasi:

Jelas terlihat empat cara “mengatakan” yang berbeda dari logika tetravalen “klasik” yang disebutkan di atas. Simetri dua proposisi terakhir berbeda. Penulis menyebut pasangan proposisi/kualifikasi ini sebagai “transversal”.

Cara penyajian ini tidak sama dengan yang digunakan penulis dalam bukunya—yang sangat saya rekomendasikan untuk dibaca. Namun, sejak awal Anda pasti bertanya, “Apa yang tersembunyi di balik ini?”. Pertanyaan ini akan membawa Anda sangat jauh. Penulis, seorang ilmuwan, menemukan titik awalnya dalam surat misterius yang saya terima pada tahun 1992 dari para penulis yang menyebut diri “Ummites”, yang dikirim dari Riyadh, Arab Saudi. Bagi yang belum mengenal kisah ini, berikut ringkasannya: sejak pertengahan 1970-an, dokumen-dokumen yang didapat dari Spanyol menunjukkan bahwa para penulis teks ini sangat menekankan perlunya meninggalkan logika Aristotelian dan beralih ke logika tetravalen.

Selama bertahun-tahun, saya berusaha keras dengan berbagai pendekatan. Pada 1992, saya memiliki Macintosh generasi pertama, berkecepatan 2 MHz, tanpa modem atau sarana komunikasi apa pun. Di komputer inilah saya mencatat refleksi-refleksi yang hanya saya ketahui sendiri. Terpikat oleh teorema Gödel, saya teringat bahwa teorema ini didasarkan pada aritmetika (manipulasi bilangan asli), yang diaksiomatisasi oleh matematikawan Peano pada akhir abad ke-19. Matematikawan Gauss pernah menciptakan apa yang kini disebut “bilangan Gauss”, yakni bilangan kompleks dengan komponen bilangan bulat.

Saya memperhatikan bahwa bilangan Gauss secara klasik dipandang sebagai pasangan bilangan asli (a, b), namun belum pernah ada aksiomatisasi yang dikembangkan untuk membangunnya selain dengan asumsi bahwa bilangan tersebut terdiri atas “dua bilangan bulat”.

Beberapa hari setelah mencatat refleksi-refleksi ini di hard disk, saya terkejut menerima surat dari Arab Saudi yang menyebut hal-hal yang sama.

Konten surat ini

Denis, seorang ilmuwan, menjadikan surat aneh ini sebagai titik awal pendekatan sepuluh tahun yang diungkapkannya dalam buku yang baru saja diterbitkannya. Mengingat sifat eksotis—bahkan kontroversial—sumber ini, dapat dimengerti mengapa ia memilih menerbitkannya dengan nama samaran.

Apakah Anda masih ingat novel Jules Verne Journey to the Centre of the Earth, di mana para pahlawan bermain dengan pesan misterius yang ditinggalkan oleh Aarne Saknudsen? Dengan menggabungkan elemen-elemen tersebut, mereka akhirnya menemukan jalan menuju pusat Bumi. Demikian pula, dalam buku Denis, Anda akan menemukan sesuatu yang serupa.

Ia bukan yang pertama mencoba pendekatan ini, namun semua upaya sebelumnya gagal, meskipun tampak menarik. Saya mengingat percobaan Norman Mohlant, seorang Kanada, di situs ummo.science. Seorang matematikawan akan berkata, “Anda bisa membuat aljabar tak hingga dan memainkannya seperti lego.” Namun menciptakan elemen lego baru jauh lebih sulit.

Apa “kelebihan” karya Denis?

Ia mulai dengan menemukan, dalam jejak yang dilacak dari surat Riyadh, jalur yang mengarah pada objek matematika yang diciptakan oleh matematikawan Irlandia Hamilton pada tahun 1843: kuaternion. Biasanya disajikan sebagai perluasan bilangan kompleks:

Q = a + b i + c j + d k

dengan

i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k
(i j)² = k j
i j = -j i (antikomutatif)
j k = i
j k = -k j
k i = j
k i = -i k

Perkaliannya antikomutatif.

Ketika Hamilton menemukan kuaternion dan menyadari betapa luas sifat-sifatnya, ia berkata:

“Semua ini pasti memiliki aplikasi dalam fisika, tetapi manakah yang tepat?”

Tentu saja, ia tidak menyangka bahwa kaitan ini baru akan terjalin setelah mekanika kuantum muncul. Misalnya, matriks Pauli adalah bentuk kuaternion.

Penulis menunjukkan bagaimana pertimbangan murni geometris memungkinkan kita, berdasarkan isi surat, mencapai konstruksi geometris kuaternion (melalui “bidang kompleks dua sisi yang ortogonal”). Buku ini berjudul Rahasia Surat Riyadh. Rahasia tersebut mulai terungkap di sini. Dalam surat tersebut dibahas teorema Fermat terkenal, yang menyatakan bahwa persamaan bilangan bulat:

aⁿ = bⁿ + cⁿ

hanya memiliki solusi untuk n ≤ 2.

Matematikawan Lagrange mengemukakan teorema serupa, yang sebelumnya juga dirumuskan Fermat sebagai dugaan: setiap bilangan bulat merupakan jumlah empat kuadrat:

N (bilangan bulat sembarang) = a² + b² + c² + d²

Nol harus termasuk di antara bilangan-bilangan ini, sehingga:

3 = 1² + 1² + 1² + 0²

Bukti yang dikemukakan setelah Lagrange menggunakan kuaternion dengan argumen induksi.

Saya berharap Denis dapat menemukan bukti teorema Lagrange menggunakan kuaternion dan memuatnya di situsnya.

Misalkan kuaternion:

Q = (a, b, c, d)

Konjugatnya didefinisikan sebagai:

konjugat Q = Q̅ (a, -b, -c, -d)

Denis mengemukakan dugaan bahwa teorema Fermat, dalam bentuk yang dirumuskan Fermat, merupakan subproduk dari bentuk kuaternion, yaitu persamaan:

(Q₁Q̅₁)ⁿ = (Q₂Q̅₂)ⁿ + (Q₃Q̅₃)ⁿ

dengan kuaternion berkomponen bilangan bulat, hanya memiliki solusi untuk n ≤ 2.

27 Februari 2010 : Saya mencatat bahwa dua pernyataan ini ekuivalen, karena modulus kuaternion (a, b, c, d) adalah a² + b² + c² + d², yaitu bilangan bulat, sesuai teorema Lagrange.

Parenatesis ini mungkin mengganggu pembaca awam. Namun, secara keseluruhan buku ini sangat mudah dipahami. Banyak contoh transversalitas yang diberikan—sangat menghibur dan merangsang—dan pembaca dapat berlatih mencari contoh serupa. Skema geometrisnya juga sangat jelas.

Buku ini tampaknya merupakan batu pertama pembangunan yang lebih besar: pintu pembuka menuju cara berpikir yang berbeda.

Untuk memesan buku (18 euro, termasuk ongkir, 144 halaman):

http://quadrilogie.com

2 Maret 2009 : Seorang pembaca, Bapak Christian Pedro, memberikan PDF berisi pembuktian teorema empat kuadrat Lagrange.

Teorema Empat Kuadrat Lagrange

Catatan tambahan : Modulus hasil kali dua kuaternion sama dengan hasil kali modulusnya. Pembuktian ini berasal dari matematikawan Euler (1750):

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =
(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² +
(a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² +
(a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² +
(a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

Artinya, modulus hasil kali dua kuaternion:

A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)

adalah kuaternion:

C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄,
  a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃,
  a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃,
  a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)

Bapak Pedro ragu pendekatan kuaternion dapat menghasilkan pembuktian yang relatif sederhana (dibandingkan pembuktian Wiles yang mencapai ratusan hal!), apalagi ribuan matematikawan telah gagal menyelesaikannya.

Saya tidak memiliki pendapat pasti. Namun, saya ingin menyampaikan dua catatan.

Bilangan asli dapat ditulis dalam basis berapa pun, dan bilangan prima tetap mempertahankan sifat ini, tidak peduli basis yang digunakan. Maka, ambillah basis paling sederhana: basis dua, dengan dua elemen: 0 dan 1.

Matematikawan Italia Giuseppe Peano (1858–1932) mengemukakan lima aksioma yang menjadi dasar aritmetika bilangan asli.

Matematikawan Italia Giuseppe Peano
1.
2.
3.
4.
5.

Elemen yang disebut nol dan dilambangkan 0 adalah bilangan asli.
Setiap bilangan asli n memiliki satu-satunya suksesor, dilambangkan s(n) atau S n.
Tidak ada bilangan asli yang memiliki 0 sebagai suksesor.
Dua bilangan asli yang memiliki suksesor yang sama adalah sama.
Jika suatu himpunan bilangan asli memuat 0 dan memuat suksesor dari setiap anggotanya, maka himpunan tersebut sama dengan N.

Aksioma pertama menjamin himpunan bilangan asli tidak kosong; aksioma ketiga menjamin adanya elemen pertama; aksioma kelima menjamin berlakunya prinsip induksi matematika.

Aritmetika Peano, yang didasarkan pada kelima aksioma ini, mengarah pada logika orde pertama, yang tetap tunduk pada teorema ketidaklengkapan Gödel. Surat Riyadh dikirimkan karena saya pernah berpikir demikian tentang bilangan Gauss z = a + i b, dengan a dan b bilangan asli.

Saya merasa tidak ada aksiomatisasi khusus untuk aritmetika bilangan Gauss, yang tampaknya dibangun dari “dua kali aritmetika Peano”—yang berbeda. Dalam kerangka ini, bilangan Gauss bukan lagi “titik pada kisi teratur”, melainkan pasangan titik (a, b) yang terletak pada garis-garis terbagi. Aritmetika bilangan Gauss menjadi “dua kali aritmetika Peano”.

Sekarang, saya ajukan pertanyaan:

- Apakah ada himpunan aksioma yang mendefinisikan aritmetika kuaternion bulat? Jika ada, logika apa yang akan dihasilkan? Apakah logika ini tetravalen? Dan apakah secara tidak langsung—lengkap, artinya tidak ada nilai kebenaran kelima—tidak ada proposisi yang tidak terpecahkan di luar keempat nilai kebenaran tersebut, yang membentuk saringan logika empat nilai?

Saya tidak dapat terlibat dalam diskusi mendalam tentang pertanyaan-pertanyaan ini bersama pembaca, karena saya sedang sibuk menyusun album baru tentang mekanika fluida. Untuk pertanyaan semacam ini, mohon hubungi penulis buku, Denis.

Adapun, saya akan menunjukkan dalam album ini bahwa sejak akhir 1950-an (ketika saya masih mahasiswa di École Nationale Supérieure de l’Aéronautique di Paris), beberapa konsep yang kini sudah sepenuhnya terintegrasi dalam dunia penerbangan, baik sipil maupun militer, dianggap oleh dosen-dosen saya sebagai pel