RICREAZIONI GEOMETRICHE
Rappresentazione poliedrica di un punto cuspidale, calcolo della sua curvatura concentrata.
Rappresentazioni poliedriche di diverse superfici.
Permutazione dei punti cuspidali di una Cross cap.
Trasformazione di una superficie di Boy "destra" in superficie di Boy "sinistra", attraverso la superficie romana di Steiner.
Inversione "destra"-sinistra di una superficie di Boy.
Jean-Pierre Petit
Direttore di Ricerca al CNRS
1988-1999 ---
Riassunto:
Si presentano alcuni elementi che permettono di rappresentare punti di curvatura concentrata: "posiconi", "negaconi" e i loro equivalenti poliedrici: "posicoin" e "negacoin", che consentono di costruire rappresentazioni poliedriche di diverse superfici e di recuperare la loro curvatura totale. Così la rappresentazione poliedrica della superficie romana di Steiner è costituita da quattro cubi adiacenti lungo i loro spigoli, rendendola più comprensibile. Una rappresentazione poliedrica della superficie di Boy era già stata data nel Topologicon, 1985, Edizioni Belin, pagine 48 e 49, sotto forma di taglio da costruire. Nella pagina 46 erano inoltre presentate rappresentazioni poliedriche del toro e della bottiglia di Klein. Vengono fornite rappresentazioni poliedriche della Cross-Cap. La curvatura totale delle diverse immersioni del piano proiettivo in R³: superficie di Boy, Cross-Cap, superficie romana di Steiner vale 2π. La rappresentazione poliedrica dei punti cuspidali, considerati come punti di curvatura concentrata, permette di calcolarla in modo molto semplice. Cross-cap, superficie romana di Steiner, superficie di Boy si presentano come "i diversi volti" di un unico oggetto: il piano proiettivo. Poiché questo non è evidente a prima vista, si costruiscono trasformazioni geometriche che permettono di passare da una all'altra. Si parte dalla Cross-Cap e la si trasforma in superficie romana di Steiner creando due punti cuspidali aggiuntivi (cioè si attua, in questo senso, la modifica generica "creazione-decreazione di punti cuspidali"), quindi si trasforma la superficie di Steiner in superficie di Boy per confluenza di coppie di punti cuspidali. Inoltre, sfruttando il fatto che l'immersione standard della sfera possa essere trasformata nella sua immersione antipodale (capovolgimento della sfera), si mostra che i due punti cuspidali di una Cross-Cap possono essere scambiati attraverso una successione di immersioni, la trasformazione illustrando il fatto che questi due punti sono equivalenti.
PREFAZIONE:
Il lettore troverà qui alcuni elementi generali già presenti nell'introduzione di FISICA GEOMETRICA A (definizione di posiconi, negaconi, ecc.). Se desidera saltare questo passaggio, può semplicemente [cliccare qui](#POSICOINI E NEGACOINI).
Se si traccia su un piano un triangolo formato da segmenti rettilinei, la somma degli angoli nei vertici vale π. Questi segmenti del piano possono essere ottenuti in modo diverso: incollando su una superficie strisce di nastro adesivo qualsiasi, senza pieghe. Chiamiamo tali percorsi del piano delle geodetiche. È possibile tracciare curve geodetiche su qualsiasi superficie con questo metodo, ad esempio sull'ala di un'automobile o sul cofano.
Figura 1: Un triangolo considerato come un insieme di tre geodetiche del piano
POSICOINI E NEGACOINI
Effettuiamo un taglio in un piano e riuniamo i due bordi, quindi tracciamo un triangolo con il nostro nastro adesivo, formato da tre geodetiche di questo cono.
Figura 2: Costruzione di un posicone.
Separando i due margini della superficie lungo il taglio precedente (figura 3), si noterà facilmente, usando un goniometro, che la somma degli angoli A, B e C è uguale a π più l'angolo del taglio α. Questa deviazione dalla somma euclidea la chiameremo curvatura e diremo che il triangolo "contiene" una certa quantità di curvatura angolare α. Questa deviazione sarà la stessa per qualsiasi triangolo, purché contenga il vertice del cono. Se non lo contiene, la somma sarà π. Diremo che la curvatura è concentrata nel vertice M del cono, che diventa così un "punto di curvatura concentrata". Poiché la somma degli angoli è maggiore della somma euclidea, diremo che questa curvatura è positiva. In questo modo, un piano sarebbe, da questo punto di vista, una superficie a curvatura nulla.
Figura 3: Il posicone disteso.
Questa curvatura è additiva. Se si incollano insieme diversi coni corrispondenti a angoli α, β, γ, si potrà tracciare qualsiasi tipo di triangolo formato da archi geodetici. Se il triangolo racchiude tre punti corrispondenti a curvature concentrate uguali a α, β, γ, allora la somma dei suoi angoli nei vertici sarà: π + α + β + γ.
Si può considerare una superficie a curvatura positiva come una sfera come un insieme di un numero infinito di "posiconi". Invece di avere una curvatura concentrata in punti diversi, avremo una curvatura distribuita uniformemente su tutta la superficie. Diremo che la sfera è una superficie "a curvatura costante" (o a "densità di curvatura angolare costante").
Fig. 4: Un triangolo formato da tre archi geodetici.
Nella sfera, le geodetiche sono "grandi cerchi". L'equatore e i meridiani sono grandi cerchi, sono archi geodetici della sfera. Ma non riuscirete a creare un parallelo con un nastro adesivo. I paralleli non sono geodetiche della sfera. La somma degli angoli nei vertici di un triangolo tracciato sulla sfera dipende dal rapporto tra l'area del triangolo e l'area della sfera. La somma degli angoli di un triangolo molto piccolo sarà molto vicina a π.
Un triangolo la cui area fosse un ottavo dell'area della sfera avrebbe una somma
A + B + C = 2π
Un grande cerchio della sfera può essere considerato come un "triangolo", a patto di posizionare i tre vertici... ovunque su questo cerchio. La somma A + B + C sarà 3π. Contiene metà dell'area della sfera.
Qual è l'intervallo massimo? Non si può dire "aumentiamo" il triangolo andando oltre questo grande cerchio, perché oltre tale limite la lunghezza degli archi geodetici che formano i suoi lati comincerebbe a diminuire e tenderebbe a zero.
Quando si è racchiusa tutta la superficie della sfera si ottiene
A + B + C = 5π = π + 4π
Diremo che la curvatura totale della sfera vale 4π.
Fig. 5: Somma degli angoli. Triangolo formato da archi geodetici della sfera.
La quantità di curvatura contenuta in un triangolo corrisponde a una semplice regola del tre:
Ora creiamo un "negacone", inserendo questa volta un settore angolare α in un piano, come indicato nella figura 6.
Fig. 6: Un "negacone"
Quando si elimina il settore angolare si ottiene questo:
Fig. 7: Il negacone disteso.
La somma degli angoli del triangolo vale A + B + C = π - α
Diremo che questa superficie è un negacone che possiede un punto di curvatura concentrata negativa. Questa curvatura è anch'essa additiva. Componendo una superficie con una giustapposizione di mini posiconi e mini neg...