Una nuova assiomatica dei gruppi **
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...Souriau abita un appartamento nel vecchio Aix. La porta che dà sulla strada è splendida. Nell'ingresso è parcheggiato un veicolo piuttosto singolare: una portantina d'epoca, appartenente alla padrona di casa, una signorina, archeologa, credo. La portantina è appoggiata al muro. Basta trovare due portatori, infilare i due lunghi montanti di legno negli anelli e sedersi per fare un giro. Le aperture sono vetrate: i vetri laterali si possono abbassare non con una manovella, ma tirando delle cinghie di cuoio, come nei vagoni dei treni dell'infanzia.
...Che sogni. Mi rendo conto di non aver mai viaggiato su una portantina. Sono convinto, in tempi di disoccupazione, che qualcuno potrebbe guadagnarsi da vivere mettendo su la prima linea regolare di portantine nel vecchio Aix. Basterebbe costruire un veicolo che imiti le portantine antiche. Non dev'essere difficile. Poi procurarsi due abiti ricamati, due parrucche e via. Percorso: il Cours Mirabeau. Sarebbe ampiamente sufficiente. Dopo, basterebbe sognare, avere un po' di immaginazione.
...Jean-Marie vive da solo con il suo gatto, Pioum, nel suo vasto appartamento pieno di dorature e intarsi. Pioum è adorabile. Tuttavia non ho molta simpatia per i gatti. Ma lui è estremamente accogliente e affettuoso.
Di solito lavoriamo in cucina, un piano più su. Una piccola stanza sotto il tetto, la cui strettezza contrasta con la grandezza delle stanze al piano inferiore. Ogni volta che Jean-Marie cerca di farmi bere la sua bevanda preferita: il Fernet-Branca, a base di carciofo, che trovo positivamente orribile, ma che lui attribuisce a tutte le virtù.
...Quando fa una passeggiata in città, porta sempre con sé il suo GPS, che non lo abbandona mai. È davvero affascinante sentirsi guidati da satelliti situati a quarantamila chilometri dalla strada su cui si cammina. Per avere una migliore ricezione, Souriau tende a camminare lungo l'asse della strada, fissando lo schermo a cristalli liquidi. È efficace, sembra, ma comunque relativamente pericoloso.
...Trovo che ci divertiamo bene, tutti e due. Una sera di dicembre, passai a trovarlo, e nacque la seguente conversazione.
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Ti parlerò dei gruppi. Ti ricordi gli assiomi?
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Sì, ce ne sono sei. Sono:
1 - Esistono elementi a, b, c... appartenenti a un insieme E
2 - Esiste un'operazione interna, indicata con o ("cerchio"), che permette di combinare due elementi di un insieme.
a appartiene all'insieme E
b appartiene all'insieme E
a o b appartiene all'insieme E
3 - Questa operazione è associativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Esiste un elemento neutro e tale che:
a o e = e o a = a
5 - Ogni elemento a dell'insieme possiede un inverso, indicato con a⁻¹, tale che:
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
Ne sono cinque?
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Beh, cinque, quattro, o uno. Non c'è una regola assoluta per la numerazione degli assiomi. Si potrebbe benissimo raggruppare gli assiomi 1 e 2 in uno solo:
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Esistono elementi a, b, c, ecc., appartenenti a un insieme E dotato di una legge di composizione interna che soddisfa:
a appartiene all'insieme E
b appartiene all'insieme E
a o b appartiene all'insieme E
È equivalente.
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Bene, cinque, quattro, poco importa. Dove vuoi arrivare?
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Farò scomparire ciò che avevi chiamato gli assiomi 4 e 5, definenti l'elemento neutro e l'inverso, sostituendoli con l'assioma del panino. In totale, gli assiomi sono:
1 - Esistono elementi a, b, c... appartenenti a un insieme E
2 - Esiste un'operazione interna, indicata con o ("cerchio"), che permette di combinare due elementi di un insieme.
a appartiene all'insieme E
b appartiene all'insieme E
a o b appartiene all'insieme E
3 - Questa operazione è associativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Siano tre elementi a, b, c, appartenenti all'insieme E.
Consideriamo l'equazione:
a o y o b = c
Essa possiede una soluzione unica.
Questo è ciò che chiamo l'assioma del panino, dove il "prosciutto" y è intrappolato tra gli elementi a e b, c essendo l'intero panino. L'assioma significa:
Si può sempre estrarre il prosciutto da un panino.
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E dico che questi assiomi definiscono i gruppi, sono equivalenti a quelli precedenti.
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Questa soluzione unica y appartiene all'insieme E, poiché l'operazione è interna e associativa.
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Certo, va da sé.
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Ma va ancora meglio se lo si dice. Non so come tu intenda recuperare i due assiomi relativi all'elemento neutro e all'esistenza dell'inverso, ma almeno capisco cosa ti ha portato a questa idea.
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Mi sono chiesto: "A cosa serve?"
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Esattamente. A cosa serve disporre di un elemento neutro? In sé, significa "se ho un insieme E e un elemento neutro, posso comporre tutti gli elementi di questo insieme con esso e ottenere lo stesso risultato". Mi fa una gran bella figura. Allo stesso modo, a cosa serve l'inverso in sé? Quando si fanno calcoli sui gruppi, su qualunque cosa, ci si arrangia sempre, moltiplicando a destra o a sinistra per elementi o il loro inverso, per far apparire a o a⁻¹ o a⁻¹ o a, che si sostituiscono con e, e poi b o e o e o b, che si sostituiscono con b. Il tuo assioma del panino è "funzionale".
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Se vuoi. Passiamo ai teoremi che derivano dall'assioma del panino. Il primo è:
I - Esiste un elemento neutro che, composto con se stesso, dà se stesso:
e = e o e
II - Questo elemento neutro è unico.
Dimostrazione:
Partiamo dall'assioma del panino. L'equazione
a o y o b = c
ha una soluzione y unica.
È vero anche se b = c = a, quindi
a o y o a = a
ha una soluzione unica. Moltiplichiamo a destra per y:
a o y o a o y = a o y
Chiamiamo a o y = e
...È un elemento dell'insieme, poiché a e y appartengono all'insieme e l'operazione è interna. Quindi esiste un elemento dell'insieme tale che:
e o e = e
...Il teorema I è dimostrato. Passiamo all'unicità, al teorema II. Se non fosse unico, esisterebbe un altro elemento dell'insieme, chiamiamolo f, che soddisfa:
f o f = f
Abbiamo:
e o e = e
Moltiplichiamo a destra per f:
e o e o f = e o f
Rimoltiplichiamo a destra per e:
e o e o f o e = e o f o e
Usiamo l'associatività:
e o ( e o f ) o e = e o f o e
Sono due panini. Chiamiamoli:
p = e o ( e o f )
q = e o f o e
...Secondo l'assioma del panino, si può "estrarre il prosciutto", cioè calcolare le espressioni di ( e o f ) e f, che saranno uguali poiché p = q. Quindi:
( e o f ) = f
...Ripetiamo partendo dalla proposizione attribuita a questo secondo elemento f:
f o f = f
...Moltiplichiamo a destra per e, due volte a sinistra:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
...Usiamo l'associatività:
e o ( e o f ) o f = e o e o f
...Usando una seconda volta l'assioma del panino deduciamo che:
e o f = e
quindi:
e = f
Teorema III: Se prendo questo elemento e "uguale al suo quadrato", si deduce che:
a o e = a
Dimostrazione:
Usiamo sempre l'assioma del panino. Partiamo dalla definizione di e:
e o e = e
Moltiplichiamo a destra successivamente per a e per e:
e o e o a o e = e o a o e
Facciamo giocare l'associatività:
e o ( e o a ) o e = e o a o e
Quindi:
e o a = a
Partendo da:
e o e = e
e moltiplicando a sinistra successivamente per a e per e:
e o a o e o e = e o a o e
e facciamo giocare l'associatività:
e o ( a o e ) o e = e o a o e
da cui:
a o e = a
Il teorema III è dimostrato.
Passiamo al teorema IV
(esistenza dell'inverso, indicato con a⁻¹).
Enunciato: dato un elemento dell'insieme, esiste un elemento e uno solo, soluzione dell'equazione:
a o y o a = a
Chiameremo questo elemento a⁻¹ e lo chiameremo inverso di a. Questo elemento soddisfa le proprietà:
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
Dimostrazione.
L'esistenza e l'unicità di questo elemento sono semplici conseguenze dell'assioma del panino, formulato così:
Quando le fette di pane sono uguali tra loro e uguali al panino, il prosciutto è l'inverso della fetta di pane (o del panino).
a o y o a = a
Possiamo applicare l'associatività in due modi:
( a o y ) o a = a
a o ( y o a ) = a
Sappiamo che:
e o a = a
a o e = a
Quindi la soluzione y soddisfa:
a o y = e
y o a = e
Dimostriamo che questa soluzione è unica. Se non lo fosse, ne avremmo un'altra
a o z = e
z o a = e
Moltiplichiamo la prima equazione a sinistra per y:
y o a o z = y o e
( y o a ) o z = y
ma y o a = e, quindi:
z = y
Chiamiamo questa soluzione a⁻¹, soluzione dell'equazione unica:
a o a⁻¹ o a = a
Così il nuovo insieme di assiomi porta alle stesse proprietà che, classicamente, definiscono i gruppi.
Si può quindi definire un gruppo con questo nuovo insieme di assiomi:
Definizione di un gruppo.
1 - Esistono elementi a, b, c... appartenenti a un insieme E
2 - Esiste un'operazione interna, indicata con o ("cerchio"), che permette di combinare due elementi di un insieme.
a appartiene all'insieme E
b appartiene all'insieme E
a o b appartiene all'insieme E
3 - Questa operazione è associativa:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Siano tre elementi a, b, c, appartenenti all'insieme E.
Consideriamo l'equazione:
a o y o b = c
Ha una soluzione unica.
Se gli elementi dell'insieme E, dotati della loro operazione di composizione interna, soddisfano questi quattro assiomi, dico che formano un gruppo.
Teorema: L'elemento neutro è il suo proprio inverso. Questa nuova definizione dell'elemento neutro, tramite un'unica equazione, genera un altro tipo di dimostrazione di questa proprietà.
e o e = e
È la definizione dell'elemento particolare e. Ma l'assioma del panino fa sì che questa equazione si identifichi con la proprietà (non più con la definizione) dell'inverso.
Altro teorema: l'inverso dell'inverso è uguale all'elemento stesso:
(a⁻¹)⁻¹ = a
a⁻¹ o a = e
a o a⁻¹ = e
a è l'inverso di a⁻¹. Da ciò deriva la proprietà.
Dimostriamo che:
( a o b )⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹
Calcoliamo:
a o b o b⁻¹ o a⁻¹ e b⁻¹ o a⁻¹ o a o b
Dimostriamo che queste due quantità sono uguali a e.
a o ( b o b⁻¹ ) o a⁻¹
= a o e o a⁻¹
= a o a⁻¹
= e
Stesso risultato per l'altra espressione.
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È un approccio diverso del concetto di gruppo.
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L'ontologia dei gruppi.
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Se vuoi.
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Ma qualcosa mi dice che questa cosa potrebbe rivelarsi feconda.
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Ora, dimentica tutto, anche l'assioma del panino. Considera un insieme E dotato di un'operazione di composizione interna o associativa. Supponiamo che in questo insieme esista un elemento che, composto con tutti gli altri, svolga il ruolo di elemento neutro:
a o e = e o a = a - È unico?
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Se esiste, è necessariamente unico, si dimostra.
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Ah sì, è vero.
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Dirò che due elementi a e b sono legati da una relazione di reciprocità se
a o b = b o a = e
Se si dà a, b è il suo inverso. Dico che se limitiamo l'insieme al sottoinsieme degli elementi che possiedono un inverso, questo sottoinsieme forma un gruppo. È un modo di costruire gruppi. In altre parole, selezioniamo nell'insieme gli elementi che soddisfano questa proprietà e dico che ciò basta per affermare che questo sottoinsieme forma un gruppo.
Bisogna dimostrare che questa proprietà è chiusa.
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Cosa vuoi dire?
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Siano due elementi a e a' che soddisfano la proprietà, cioè:
a o b = b o a = e
a' o b' = b' o a' = e
a ha un inverso b
a' ha un inverso b'. Sono quindi nel sottoinsieme in questione. Bisogna dimostrare che a o a' ha anch'esso un inverso.
Rimuoviamo questi "cerchi", che sono pesanti.
a' o b' = e
moltiplichiamo a sinistra per a e a destra per b:
a a' b' b = a e b = a b = e
Quindi:
( a a' ) ( b' b ) = e
Ripartiamo da:
b o a = e
moltiplichiamo a sinistra per b' e a destra per a':
b' b a a' = b' e a' = b' a' = e
( b' b )( a a' ) = e
Quindi l'elemento ottenuto componendo a e a', che possiedono un inverso, possiede anch'esso un inverso.
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Resta da dimostrare che questo sottoinsieme forma effettivamente un gruppo.
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E per farlo, dimostrerò che questo sottoinsieme soddisfa l'assioma del panino, cioè che:
a y b = c
ha una soluzione y unica.
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Capisco. Axiomaticamente, procedi al contrario di prima. Prima ti eri dato l'assioma del panino e avevi mostrato che questo implicava l'esistenza degli inversi. Ora supponi che tutti gli elementi dell'insieme abbiano un inverso e cercherai di recuperare l'assioma del panino usando questa proprietà.
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Il modo migliore per dimostrare che l'equazione ha una soluzione unica è costruirla. Moltiplichiamo l'equazione sopra a sinistra per a⁻¹ e a destra per b⁻¹.
a⁻¹ a y b b⁻¹ = a⁻¹ c b⁻¹
( a⁻¹ a ) y ( b b⁻¹ ) = a⁻¹ c b⁻¹
y = a⁻¹ c b⁻¹
- Così y è effettivamente soluzione dell'equazione:
a y b = c
Introducendo la soluzione costruita, si ottiene:
a ( a⁻¹ c b⁻¹ ) b = c
...In questo modo si ammette di poter giocare con le parentesi, generalizzare l'associatività. Abbiamo supposto (è uno degli assiomi) che si possa isolare due elementi in una sequenza di operazioni
a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )
Si tratta di dimostrare che è lecito includere tre elementi tra due parentesi. Ma lo ammetteremo senza dimostrazione.
Applicazioni:
...Consideriamo l'insieme dei numeri reali dotato della moltiplicazione x come operazione di composizione. È interna, ma non è un gruppo secondo questo nuovo insieme di assiomi. Infatti l'equazione che definisce l'elemento e:
e o e = e
ha due soluzioni:
e = +1 e e = -1
...Consideriamo la costruzione precedente. Dato un insieme (i numeri reali), un'operazione di composizione, associativa (la moltiplicazione). Questo insieme possiede un elemento neutro 1, che non è definito come soluzione di
e o e = e
ma come elemento che, composto con qualsiasi altro elemento dell'insieme (incluso se stesso), dà lo stesso risultato, cioè la definizione classica:
Per ogni a appartenente all'insieme E vale:
e o a = a o e = a
Se partiamo dalla definizione classica dell'inverso:
a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e
...Abbiamo dimostrato che il sottoinsieme degli elementi che possiedono un inverso forma un gruppo. Così i numeri reali meno lo zero formano un gruppo.
Prendiamo le matrici quadrate di formato (n,n). Hanno un elemento neutro:
con zeri fuori dalla diagonale principale, riempita di "1".
Le matrici invertibili formano un gruppo, chiamato Gruppo Lineare GL(n).
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A me piace molto tutto questo.
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Mmm... è solo una variante dell'assiomatica classica. L'ho presentata a un convegno di epistemologia, a Grenoble, una settimana fa.
A SEGUITO
