Un immersion di una superficie in R3 è una rappresentazione in cui il piano tangente è continuo e in cui esiste un insieme di autointersezione. La sfera e il toro possono essere immersi in R3.
Un immersione di una superficie in R3 possiede anch'essa un piano tangente continuo, ma presenta un insieme di autointersezione. Esempi: superficie di Boy, bottiglia di Klein.
È sempre possibile trasformare un immersione in un'immersione. Prendiamo una sfera e portiamo a contatto, all'interno, due punti, ad esempio antipodali (i "poli"). In questo universo "immaterial" delle immersioni, le superfici possono attraversarsi da sole. Si crea così una curva di autointersezione (qui, un cerchio).
Ma il contrario non è automaticamente possibile. Il piano proiettivo non può essere immerso in R3, può solo essere immerso. La forma classica di questa immersione è la superficie di Boy, che presenta un insieme di autointersezione a forma di elica triplice, con un punto triplo (dove si incrociano tre strati). Vedi figure 29a e 29b. Stesso discorso per la bottiglia di Klein, la cui autointersezione minima è una curva chiusa. Vedi il Topologicon, pagina 46. Gli immersioni possono essere considerati casi particolari di immersioni, in cui l'insieme di autointersezione è vuoto. Le rappresentazioni in cui compaiono punti cuspidali non sono immersioni, poiché, rispetto alla continuità del piano tangente, questi punti sono singolari. Chiamiamo queste rappresentazioni tagli di oggetti in R3. Il taglio di una superficie in R3 potrebbe presentarsi come un'immersione "quasi ovunque", cioè con continuità del piano tangente, tranne in un numero finito di punti. Ma non è una definizione abbastanza precisa, poiché esistono diverse modalità di introdurre una discontinuità del piano tangente. Ritorneremo a questo argomento delle discontinuità più avanti.
Le superfici, e più in generale gli oggetti geometrici: punto, retta, curva chiusa, "curva con bordo" (segmento o "bolla b1"), disco, ecc., sono come gli oggetti di una lingua. Abbiamo ampiamente giocato con tutti questi elementi nel Topologicon (vedi cd-Lanturlu), "parole" o "lettere" con cui si possono formare parole, poi frasi, in base a una sintassi. Chiamiamo questi oggetti delle costruzioni.
Esistono trasformazioni che sono veri e propri operatori geometrici. Nell'articolo abbiamo descritto l'operazione di creazione-distruzione di punti cuspidali. Approfondiamola.
Un oggetto fondamentale è quello che potremmo chiamare il "cilindro gamma".
Ha una linea di autointersezione, da cui, stringendo il passaggio tubolare superiore, creeremo due punti cuspidali.
Iniziamo l'operazione di stringimento: 
La sezione della superficie è sempre un "gamma", ma corrisponde a un passaggio che si restringe. Analizzare il vicinato di un punto singolare è sempre una cosa delicata. Esistono diversi disegni possibili, corrispondenti a diversi tipi di singolarità.
Il punto G corrisponde alla confluenza di due punti cuspidali. Gli anglosassoni chiamano tutte le singolarità "cusps". Traduzione (dizionario): corno, punta. Ma la punta di un corno è un punto conico. Larousse: cuspide: punta acuta e allungata, dal latino cuspida: punta. La singolarità derivata dalla confluenza può assumere altre forme, ad esempio: 
La sezione trasversale è la stessa: quel "V" capovolto, ma non si tratta dello stesso oggetto né della stessa singolarità. Tuttavia, è possibile passare da una di queste figure a:
Dove abbiamo due punti cuspidali C1 e C2. La sezione retta è cambiata (rappresentata a destra, con il piano di taglio sopra la figura).
È la modifica "C".
Dettaglio: 
Spiegai a un amico al telefono cos'era un punto cuspidale.
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Immagina di essere salito su un cavallo. All'improvviso, con le gambe, schiacci il cavallo, portando i due segmenti gambe a contatto. La superficie-cavallo cambia. Il posteriore destro si unisce alla spalla sinistra e il posteriore sinistro alla spalla destra.
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Ma dove è il punto cuspidale?
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Sei seduto sopra.
Il fenomeno del cambiamento di incastro delle falde si chiama chirurgia. L'operazione descritta di seguito è la costituzione di un punto cuspidale a partire da un cilindro parabolico (il "cavallo" di prima):
Dopo lo "schiacciamento del cavallo": 
In alto, il punto cuspidale.
Il punto cuspidale ottenuto schiacciando una superficie lungo un segmento e cambiando l'incastro delle falde (una chirurgia) ci permette di capire come si possa trasformare una sfera in una Cross-Cap (detta anche in francese "sfera a cappello incrociato") schiacciando una sfera con un ferro da stiro. 
Il ferro da stiro diventa così lo strumento più semplice per trasformare una sfera in una superficie unilaterale.
Di seguito, la Cross-Cap:
Piccola digressione: come "magliare" una Cross-Cap? Possiamo partire da una delle sue rappresentazioni poliedriche:
Da cui possiamo dedurre il maglio nel vicinato di un punto cuspidale:
Significa forse che un colpo di ferro da stiro trasforma automaticamente una superficie bilaterale in una superficie unilaterale? No, vedi disegno seguente: 
Qui abbiamo schiacciato una sfera tra due regoli. Rimane comunque una superficie bilaterale. Pennellala, vedrai. Potrai usare due colori (per la Cross-Cap non potresti farlo, poiché è unilaterale):
Un'altra vista: 
Così configurata, la sfera ci mostra metà del suo esterno e metà del suo interno. Se hai difficoltà a visualizzare questo oggetto, ecco una sua rappresentazione poliedrica:
Quando si incontrano rappresentazioni poliedriche di questo tipo, si è portati ad applicare la decomposizione in "celle contrattili" (vedi il Topologicon, nel cd-Lanturlu) per cercare di calcolare la caratteristica di Euler-Poincaré. Le rappresentazioni poliedriche della sfera (un semplice cubo) o del toro permettono di calcolarne la caratteristica. Due per la prima, zero per la seconda. Nell'album, pagina 47, si trovava il piano di montaggio di un "Boy-Cubo" dove erano rappresentate delle spigolature. Nel frattempo, si può montare con "profilati a sezione quadrata Reynolds", in lega leggera, usati per costruire scaffali. Si tagliano i tubi quadrati con la sega, il più vicino...