Rappresentazione analitica della superficie di Boy

f5101 Una rappresentazione analitica della superficie di Boy J.P. Petit e J. Souriau .

**...**Di seguito, la riproduzione di una nota ai Comptes Rendus de l'Académie des Sciences di Parigi, firmata J.P. Petit e J. Souriau, datata 1981.

**...**Questo lavoro ha una storia. Fino a quando non uscì il mio album Topologicon, edito da Belin nella serie delle Aventures d'Anselme Lanturlu, nel 1985, le rappresentazioni della superficie di Boy nei testi specialistici erano piuttosto rare. Si trovavano qua e là fotografie di modelli realizzati in gesso o in rete per polli. Charles Pugh, del dipartimento di matematica dell'Università di Berkeley, è il massimo esperto mondiale di reti per polli. È proprio con questo materiale che ottenne un premio finanziariamente rilevante realizzando i modellini che descrivono il ribaltamento della sfera secondo Bernard Morin, modellini poi digitalizzati da Nelson Max per trasformarli in un film che gira in tutti i dipartimenti di matematica del mondo.

**...**Ma trovo che la rete per polli rimanga un materiale poco nobile, specialmente per argomenti scientifici di alto livello. Avendo conosciuto un plastico chiamato Max Sauze, mi avvicinai alla tecnica del filo di rame, flessibile ma rigido, che Max saldava con abilità, cercando di non surriscaldarlo troppo, per non creare nel materiale tensioni parassite.

**...**Il mio amico Jacques Boulier, noto come Vasselin, era allora professore agli Écoles des Beaux Arts di Aix-en-Provence. Un anno mi propose di sostituire uno dei suoi colleghi partito all'estero, cosa che feci, assicurando un servizio a tempo parziale con Sauze. Mentre io inventavo gli oggetti, Max li saldava. I nostri studenti, girando intorno a noi incuriositi, si sforzavano di imitarci al meglio. In quel periodo quell'ala dell'École des Beaux Arts di Aix-en-Provence era diventata una sorta di fabbrica di produzione di superfici matematiche in serie.

**...**Se volete provarci, non è complicato. Vi servirà un rotolo di quel filo di rame, diciamo da un millimetro e mezzo di diametro, al massimo due, e una pinza tagliacavi. Con questo potrete rappresentare le due famiglie di curve che compongono qualsiasi superficie.

**...**Il problema è modellare correttamente questi oggetti. Per fare ciò, è utile poter far scivolare i punti di giunzione, dove i "meridiani" e i "paralleli" si incrociano. Una buona soluzione consiste semplicemente nel legare i due fili metallici con del filo da cucito. È abbastanza stretto da dare all'oggetto stabilità, ma abbastanza scivoloso da permettere deformazioni e aggiustamenti.

**...**Solo quando riterrete che l'oggetto sia matematicamente conforme ai vostri desideri potrete affidarlo a qualcuno che maneggi con abilità la saldatura all'argento e sappia saldare senza surriscaldare le aste, come faceva Max con arte consumata.

**...**Un giorno portai un prototipo della superficie di Boy, dopo aver scoperto come i meridiani e i paralleli dovevano essere disposti. Apparentemente, si riusciva a farli assomigliare in modo quasi perfetto a una famiglia di ellissi.

**...**Max riprodusse con cura l'oggetto. Poi andai da Souriau. Suo figlio (che non avrebbe mai avuto la pazienza di finire la laurea in fisica) giocava con l'Apple II di suo padre. Gli dissi:

• Jérôme, ti piacerebbe avere una pubblicazione di matematica pura a tuo nome?

• Mah, perché no? Chi devo uccidere per questo?

• Nessuno. Vedi questo oggetto. Prendi un goniometro, misura queste ellissi e prova a costruire una rappresentazione semi-empirica di questa superficie.

• Si può sempre provare, dammi...

**...**Due giorni dopo era fatto. L'articolo fu rapidamente accettato dai Comptes Rendus de l'Académie des Sciences di Parigi e pubblicato con i nostri due nomi: J.P. Petit e J. Souriau.

**...**Ma poiché il padre si chiama Jean-Marie e il figlio Jérôme, tutti i matematici sono convinti che sia stato un lavoro fatto insieme, Souriau padre e io.

**...**Il tracciamento della superficie al computer, utilizzando un piccolo programma BASIC di poche righe, sorprese molti matematici, che si aspettavano qualcosa di più complesso. L'episodio ebbe una conseguenza spiacevole. Il matematico Bernard Morin aveva un dottorando, Apéry, figlio di Apéry-papà, autore del celebre teorema secondo cui la somma dei cubi dei numeri interi è un numero irrazionale. Tra l'altro...

**...**Io non lo sapevo. Il nostro progresso preoccupò molto Morin, specialmente perché gli dichiarai all'epoca con ingenuità che questa metodologia avrebbe dovuto permettere di descrivere la superficie a quattro orecchie che lo aveva reso famoso, quella costruita con la sua rete per polli da Pugh, poi digitalizzata da Max, eccetera.

Morin aggrottò la fronte:

• No, è impossibile! ...

**...**Vedremo questo più tardi. Rimango convinto del contrario. Ma questa frase era il corrispettivo della famosa risposta che Archimede lanciò al soldato romano che lo disturbava nei suoi ragionamenti: Noli tangere circuleos meos!
In francese: "Non toccare i miei cerchi!"
Qui era piuttosto: "Non toccare le mie ellissi!"

**...**In seguito, Apéry sfruttò la mia scoperta, secondo cui si poteva dotare la superficie di Boy di un sistema di meridiani ellittici, per costruire la prima equazione implicita dell'oggetto:

f(x,y,z) = 0

**...**Morin, furioso nel vedermi apparire come un intruso nei suoi lavori matematici, impose ad Apéry di specificare nella tesi che era stato Sauze a trovare l'idea delle ellissi. Max non smentì, ma è inesatto. La prova è nella mia cantina: il modellino che portai a Max perché lo mettesse a punto.

**...**Infine, tutto questo è abbastanza ridicolo, in fondo. Questa aneddoto serve solo a mostrare che i matematici non sono più brillanti dei fisici.

**...**Il politecnico Colonna, pioniere nell'ambito delle immagini di sintesi, utilizzò senza menzionarne l'origine tutte le nostre equazioni. Ma c'è un dettaglio curioso: se vedete su uno schermo delle immagini della superficie di Boy, e se sono "le nostre", presenteranno inevitabilmente tre leggeri "pieghe" vicino al polo. Un difetto di regolazione delle equazioni. Jérôme, figlio di Souriau, l'aveva fatto di fretta e un ultimo piccolo colpo di ferro vicino al polo non sarebbe stato di troppo. È comunque sempre fattibile, per chi volesse.

**...**Questa saga della superficie di Boy non è conclusa. Per essere completi, menzioniamo un personaggio: Carlo Bonomi, un miliardario italiano. Lo conobbi durante un'escursione nel triangolo delle Bermude (ma questa è un'altra storia). Navigavamo a gran velocità sul suo yacht, di lusso da togliere il fiato, alla ricerca di una piramide sommersa segnalata da un certo Charles Berlitz in uno dei suoi libri. Non trovammo la piramide e quasi fummo divorati dai numerosi squali che infestavano quelle acque. Se avete un atlante, il luogo dove si suppone fosse la maledetta "Piramide Atlantica" si trova a sud-ovest di un reef chiamato Cay Sal Balk, a cinquanta miglia a sud di Cuba.

**...**Tra una immersione e un altro cenone al caviale, proposi a Bonomi di sponsorizzare una produzione intensiva di superfici di Boy. L'idea gli piacque e ci fu una continuazione. Diciamo che la superficie di Boy che orna la sala di matematica del Palais de la Découverte di Parigi fu pagata da Bonomi e realizzata da Sauze. Il finanziere pensava di organizzare una mostra facendo realizzare gli oggetti in filo d'oro massiccio. Ma l'impresa non ebbe seguito. Sorpreso dal suo lungo silenzio, chiamai i suoi uffici a Milano. Purtroppo, coinvolto nello scandalo della loggia P2, era stato incarcerato e il suo interesse per la topologia ne aveva sofferto in modo irreversibile.

**...**Il rivestimento a due fogli di una superficie di Boy, immagine del piano proiettivo P², è una sfera S² (vedi Topologicon). Pugh ha costruito questo rivestimento con due strati di rete per polli, un oggetto notevole in ogni senso, anche se, come ho detto, preferisco personalmente il filo di rame e la rappresentazione meridiani-paralleli. Ma anche in matematica pura:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Prima di presentare la nota, un'ultima aneddoto. Charles Pugh aveva quindi costruito sette modelli in rete per polli, ottenendo un premio importante, che descrivevano le fasi successive del ribaltamento della sfera, di cui parlerò quando troverò cinque minuti per caricarlo sul sito, e che erano appesi al soffitto della mensa del dipartimento di matematica dell'Università di Berkeley.

**...**I matematici di tutto il mondo venivano in pellegrinaggio ad ammirare questa sequenza straordinaria sotto ogni aspetto. Ma una notte i modelli furono rubati e nessuno sa cosa ne sia stato dei sette oggetti, altrimenti strettamente invendibili. Quale ricettatore avrebbe accettato una transazione del genere? A meno che un ricco appassionato, mezzo esteta, mezzo matematico, non avesse finanziato l'operazione per custodirli in una cantina blindata, godendosi il solo privilegio di poter contemplare questa ottava meraviglia del mondo, fosse anche costruita in rete per polli.

**...**Pugh, nonostante la padronanza del materiale, non ebbe il coraggio di mettere in cantiere una nuova serie.

**...**Come già detto all'inizio del sito, la stessa vita di Werner Boy rimane un mistero. Dopo aver inventato la superficie a cui doveva legare il suo nome, si dissolse letteralmente dopo la sua partenza dall'università. Nonostante le ricerche, Hilbert non riuscì a rintracciarne le tracce e si ignora persino dove sia stato sepolto.

**...**Torniamo alla matematica. La nota che segue è relativamente facile da leggere. A partire dalle formule da 1 a 8, qualsiasi liceale sveglio potrà costruire immagini molto belle e verificare che le sezioni corrispondano bene alla figura 5.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 ottobre 1981), Série I - 269
GEOMETRIA. - Una rappresentazione analitica della superficie di Boy. Nota di Jean-Pierre Petit e Jérôme Souriau, presentata da André Lichnérowicz.

Si presenta una rappresentazione analitica della superficie di Boy, che permette di tracciarla.

1. INTRODUZIONE.
**...**La superficie inventata nel 1901 dal matematico Werner Boy, allievo di Hilbert, è ben nota ai matematici. Può intervenire come tappa centrale nel ribaltamento della sfera ( [1] e [2] ).

**...**Nel 1979 (J.P.P.) aveva costruito un modellino in filo metallico, evidenziando le posizioni che i meridiani della superficie dovevano occupare. Un secondo lavoro effettuato nel 1980 con lo scultore Max Sauze permise di ricostruire un secondo modellino in cui le curve si trovavano in piani e sembravano abbastanza vicine a delle ellissi. A partire da un tale modellino sembrava possibile costruire una rappresentazione analitica di una superficie con la topologia della superficie di Boy, i cui meridiani fossero ellissi passanti per un unico polo.

2. COME GENERARE LA SUPERFICIE DI BOY UTILIZZANDO ELLISSI.

**...**Collochiamo il polo nell'origine delle coordinate. In questo punto la superficie sarà tangente al piano (XOY). Avrà quindi l'asse OZ come asse di simmetria ternaria (vedi figura 1). Le curve meridiane sono quindi ellissi situate in piani Pm. Sia OX1 la traccia nel piano XOY di un piano Pm. Chiamiamo m l'angolo (OX, OX1). In questo piano Pm collocchiamo un secondo asse OZ1 perpendicolare a OX1. Chiamiamo a l'angolo (OZ, OZ1).

Fig. 1 e Fig. 2

**...**Il primo parametro di questa rappresentazione analitica sarà l'angolo m. Considereremo l'angolo a come una funzione di m (che sarà definita in seguito). Nel piano Pm tracciamo ora un'ellisse tangente in O a OX1 (vedi figura 2). Prenderemo gli assi di questa ellisse paralleli alle bisettrici di X1OZ1. Chiamiamo A(m) e B(m) i valori degli assi di questa ellisse. Questa ellisse Em sarà generata da un secondo parametro libero q.

**...**In sintesi, otterremo le coordinate X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) del punto corrente della superficie.

**...**In questo approccio semi-empirico, misurazioni effettuate da (J.S.) sul modellino permisero un'approssimazione delle funzioni a(m), A(m) e B(m). La superficie fu poi tracciata al computer "Apple-II" e si ottennero sezioni a Z = costante; l'esame di queste sezioni permise di determinare l'identità topologica con la superficie di Boy. Questa non poté essere ottenuta senza un'esperienza numerica (J.S.) che permise di eliminare le coppie di singolarità parassite (apparizione di coppie di punti cuspidali).

**...**Abbiamo deciso di trattenere: (1) A(m) + 10 + 1,41 Sen(6m - π/3) + 1,98 Sen(3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 Sen(6m - π/3) - 1,98 Sen(3m - π/6)
(3)

**...**Nel riferimento X1 O Z1 le coordinate del centro dell'ellisse Em sono: (4)

(5)

**...**Nello stesso riferimento le coordinate del punto corrente dell'ellisse sono: (6)

(7)
e le coordinate x, y, z sono date da:
(8)