Torniamo a questa classe di omotopie delle immersioni del toro in R3. È possibile collegare facilmente gli oggetti mostrati utilizzando una trasformazione "C". Prendiamo un toro e lo "attraversiamo" in qualche punto, creando una linea di punti doppi che è un cerchio: 
Ho usato "due colori": grigio per l'esterno del toro, bianco per l'interno. L'attraversamento autoindotto (che porta a una delle infinite immersioni possibili del "toro standard") fa quindi apparire una parte bianca della superficie.
Osserviamo questo oggetto da un punto situato sull'asse del toro:
In alto, la porzione interna (bianca) del toro che l'attraversamento autoindotto ha reso visibile. Possiamo quindi attuare una "trasformazione C" e creare due punti cuspidali. 
Nel punto indicato dalla freccia "stringiamo" un passaggio. L'operazione crea due punti cuspidali C1 e C2:
che possiamo far migrare come segue:
Non resta che eseguire una trasformazione C⁻¹ (confluenza di due punti cuspidali):
Otteniamo l'oggetto: 
Questa immersione del toro è omotopa al toro standard.
Si vede che queste operazioni "C" e la loro inversa "C⁻¹", che estendono l'universo delle immersioni a quello dei tagli delle superfici in R3, permettono di fare cose interessanti. È possibile costruire l'insieme di tutti i tagli delle superfici classiche (sfera, piano proiettivo, toro e bottiglia di Klein). Quante classi possiede questo insieme?
Abbiamo visto che la sfera e il piano proiettivo appartengono alla stessa classe (così come la superficie di Boy destra e quella sinistra). Quante classi di taglio ha il toro? Credo, salvo errore, che questo problema non sia attualmente risolto. È possibile, tramite operazioni C, passare da una classe di immersione del toro a un'altra, oppure no? Intuitivamente, tenderei a rispondere di no, ma si tratta soltanto di una congettura.
Una costruzione non può dimostrare un'impossibilità, ma solo illustrare una possibilità. Se qualcuno trovasse costruzioni che permettano di saltare da una classe all'altra, il teorema sarebbe di fatto dimostrato, ma il fatto che non si trovino costruzioni che lo permettano non costituisce in sé una dimostrazione. L'assenza di prova non è la prova di un'assenza. Affermare che esistono quattro classi di taglio del toro in R3, oppure che ne esiste soltanto una, sono entrambe congetture, semplici convinzioni, al momento.
Si è scoperto che Smale aveva dimostrato che il ribaltamento della sfera era possibile prima che Phillips ne desse la prima costruzione. Potrebbe essere stato l'inverso. Ma chi avrebbe avuto l'idea di intraprendere un'impresa del genere, andando completamente contro la nostra intuizione geometrica?
La trasformazione C permette di trasformare una sfera in un Cross cap, poi in una superficie di Boy, passando attraverso la superficie romana di Steiner. Vedi l'articolo. Può permettere di trasformare un toro in una bottiglia di Klein? Logicamente sì, ma non ho una risposta pronta a questa domanda.
Nel passaggio, perché parlare di "piano proiettivo"? Gli oggetti (unilaterali) mostrati sono finiti. Risposta di Souriau:
- Su un piano c'è "la retta all'infinito". Si ricuce semplicemente questo piano lungo la retta all'infinito.
Che, come è ovvio, è una curva chiusa.
Nel Topologicon si trova un piccolo disegno animato, un "feuilletable", che mostra come un nastro di Möbius con tre mezzi giri possa trasformarsi in una superficie di Boy. L'ultima immagine mostra questa superficie meno un disco. Basta aggiungere questo disco per completare la superficie. Una superficie di Boy è quindi un nastro di Möbius più un disco. Esercizio: usando gli strumenti del Topologicon, ricalcolate la caratteristica di Eulero-Poincaré (che vale 1).
Al contrario, si potrebbe partire dal disco e farlo crescere, attraversandosi, fino a ricongiungersi con quel nastro di Möbius a tre mezzi giri, che è un'altra costruzione.
Ho ritrovato i disegni nella comunicazione di 55 pagine che avevo presentato al convegno lacaniano di psicoanalisi ad Aix-en-Provence (4 e 5 aprile 1987), dedicata alla "Perversion", e che figura nei verbali editi dagli organizzatori. Mi servirò di questo testo in un futuro documento intitolato "JPP chez Lacan".
Prima immagine: il disco che si contorce.
Di seguito, inizio della creazione dell'insieme di auto-intersezione:
Immagine successiva: apparizione del punto triplo:
Smesso di applicare ombreggiature, poiché la superficie sta per diventare unilaterale.
Di seguito, la superficie è pronta a ricongiungersi con se stessa lungo il suo bordo.
Qui è stata rappresentata la striscia di Möbius a tre mezzi giri, completando la superficie:
Immagine successiva: lo stesso nastro.
Poi la superficie di Boy, interamente formata. Non si può dire, rispetto alle immagini presentate nel Topologicon, "che la si veda da sotto", perché una superficie di Boy non ha né coda né testa. Diciamo che, come appare, si vede il suo punto triplo.
Di seguito, il suo insieme di auto-intersezione: 
Avete quindi visto, con i vostri occhi, il piano ripiegarsi sulla sua "retta all'infinito". Da qui il suo nome: "piano proiettivo", abbastanza strano a prima vista. Forse è la prima volta che si mostra all'infinito così da vicino.
Queste immagini erano state composte una ventina di anni fa e questo sito Internet, o questo CD, offrono finalmente la possibilità di mostrarle. Il lettore potrebbe chiedersi perché non siano apparse su "Pour la Science" o "La Recherche". Non mancò l'invio di articoli a queste riviste, ma le redazioni non hanno trovato il tema interessante.
Spero che con questa "scatola degli strumenti geometrici" vi affretterete a inventare un mucchio di nuove superfici. Ecco una, immaginata dalla signora Ivars. Prendete una sfera e infilate in due direzioni diametralmente opposte due segmenti della stessa lunghezza, fino al contatto, immaginando che questi siano saldati a due asticelle, come qui:
Quando i segmenti si toccano, si verifica una "chirurgia". Si ha un incrocio di fogli lungo il segmento, e due punti conici alle estremità. Di seguito, questa superficie in sezione.
La stessa, in prospettiva:
Al raggio attrezzato...