Vendita Surface di Boy

Documento senza nome

30 dicembre 2009

Ho venduto la superficie di Boy che avevo creato

Ecco: questo oggetto di un metro e quaranta di apertura è partito questa mattina per la Belgio, acquistato da un medico, Pierre, inoltre fedele lettore delle strisce di Lanturlu e che conosceva già l'oggetto grazie alla lettura dell'album Le Topologicon, scaricabile gratuitamente sul sito di Savoir sans Frontières a :

****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm

Il Topologicon è citato nella pagina di Wikipedia, ma il collegamento non conduce alla pagina di download del sito Savoir sans Frontières, il che è abbastanza spiacevole. Qualcuno potrebbe forse aggiungere questo collegamento, ma io personalmente non potrei farlo, essendo stato "bandito per sempre" da Wikipedia nel ottobre 2006 (per aver rivelato l'identità di un contributore, ex allievo della Normale Supérieure, al quale il suo dottorato in fisica teorica sulle stringhe permetteva di accedere a un posto in una banca).

Questo oggetto è stato esposto per venticinque anni nella "sala pi" del Palais de la Découverte di Parigi. L'ho recuperato alcuni anni fa al momento in cui la direzione del Palais aveva voluto installare in questa sala un piccolo anfiteatro in legno. Ho preferito recuperarlo, prima che finisse schiacciato, immagazzinato in qualche riserva, a titolo di "scienza consumabile".

Quando si è tenuta al Palais un'esposizione dedicata alle diverse teorie riguardanti la costruzione delle piramidi, gli atelier avevano realizzato una bella modellino di 50 cm per 50 cm, che mostrava i pezzi d'angolo della mia rampa in pietra. Ho voluto recuperare l'oggetto, ma ultimamente è stato perso. Forse come "scienza consumabile" è finito in un cestino. Forse un lettore potrà informarmi?

Quando si visita la Cité des Sciences si è colpiti dall'invasione del virtuale, da schermi a plasma che mostrano questo o quello. Così tanto che si è tentati di dire: "perché recarsi in questi luoghi, quando posso accedere a tutto ciò da casa mia grazie a Internet?"

Mondi virtuali, scienze consumabili, avete forse un'anima?

È in voga.

In che modo la superficie di Boy è importante in matematica? Nella categoria delle superfici chiuse a due dimensioni, prive di punti singolari, ne troviamo solo quattro:

Le prime tre ci erano note da molto tempo. La quarta era più misteriosa. Fu solo negli anni settanta, quando ero professore di scultura all'École des Beaux Arts d'Aix en Provence, che ho costruito la prima rappresentazione di questa superficie, con due famiglie di curve, equivalente agli insiemi meridiani-paralleli della sfera S2. Come si vedrà nella striscia, la superficie inventata dal matematico tedesco Werner Boy, allievo di Hilbert, è il risultato dell'applicazione dei punti di una sfera sugli altri, ogni punto messo in coincidenza con il suo antipodo. Così il polo nord viene messo in coincidenza con il polo sud. I meridiani della sfera "si avvolgono sui meridiani di Boy".

Ho immediatamente avuto l'idea di identificare una delle famiglie di curve con delle ellissi.

Allora il giovane Jérôme Souriau poteva utilizzare il Apple II del suo matematico di padre. Un giorno gli dissi:

*- Vorresti fare per me un lavoro che ci valerebbe una pubblicazione nel campo delle matematiche? *

E Jérôme rispose:

*- Chi devo uccidere per questo? *

Si trattava semplicemente di effettuare misure sulle ellissi, con un goniometro e una squadra, per costruire delle curve, e la loro rappresentazione con una serie di Fourier. Realizzò il lavoro in un pomeriggio. La nota ai rapporti dell'Accademia delle Scienze di Parigi passò senza difficoltà. Vedi questa riproduzione della nota

Queste equazioni permisero a Colonna, che dirigeva il primo laboratorio di immagini al computer dell'École Polytechnique di Parigi, di produrre le prime immagini dell'oggetto, ma senza menzionare le equazioni che aveva utilizzato per farlo (comportamento abbastanza comune nella "comunità scientifica").

**Immagine creata a partire dalla rappresentazione JP PETIT - Jérôme Souriau, con i suoi tre brutti pieghi, derivanti da una mancanza di finitura nella rappresentazione di Fourier. **

Successivamente le rappresentazioni parametriche si moltiplicarono. Di seguito, quella di R.Bryant :

Questa seconda scoperta, quella di una parametrizzazione con meridiani ellittici, permise al matematico Apéry, allievo del matematico Bernard Morin, di Strasburgo, di costruire la prima rappresentazione della superficie in forma implicita, di sesto grado. (nella sua tesi di dottorato attribuisce questa invenzione al plastico Max Sauze, dottore in saldature d'argento) :

f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0

*estremamente complicato. *

**Immagine della superficie di Boy, costruita utilizzando la rappresentazione implicita di Apéry, con i "meridiani ellittici" di J.P.Petit **

Sul sito di Wikipedia, a questa pagina, si troverà un'animazione, ispirata dal flip book che si trova nel Topologicon (1988). Lo stesso vale per la rappresentazione poliedrica della superficie (altra invenzione del sottoscritto, presente anche nell'album), con angoli smussati.

Nel 1988 il matematico Brehm ha dato un'altra rappresentazione poliedrica, con dieci facce e un teorema indica che l'oggetto non può avere meno di 9 facce....

Poliedro di Brehm

*De gustibus et coloribus non disputandum *

Torniamo alla rappresentazione di Apéry, unica rappresentazione implicita conosciuta. Perché questa superficie è così scomposta (e quindi la sua equazione così complessa)?

Apéry, guidato da Morin, non ha sfruttato la simmetria ternaria dell'oggetto. L'equazione pone l'asse OZ come asse di simmetria; è un errore. Un miglior risultato sarebbe stato ottenuto scegliendo come asse di simmetria il vettore (1, 1, 1). La simmetria ternaria avrebbe allora dato un'equazione invariante per scambiare le coordinate x, y, z. Inoltre, posizionando l'origine delle coordinate nel punto triplo e decidendo che i tre piani tangenti alla superficie sono i piani principali, si eliminerebbero i termini di ordine due, uno e zero, e si ridurrebbe il termine di terzo ordine a

xyz

Una tale simmetria è sfruttata nella superficie scoperta nel 1844 da Steiner, nella città di Roma, chiamata in seguito la superficie romana di Steiner, la cui equazione è :

Guardiamo alla superficie:

La superficie romana di Steiner

Costituita anche da ellissi, è, come questa, unilaterale, quindi non commestibile. :

Le famiglie di ellissi della superficie romana...