Instabilità di Jeans e gravità cosmologica

Progetto Epistémotron 2

L'instabilità gravitazionale o
Instabilità di Jeans

6 maggio 2004

Consideriamo una sfera piena di "polveri", cioè di una densità costante di punti massivi fermi. La sfera ha un raggio R. Rappresenta una massa M. Consideriamo una massa m situata sulla superficie di questa sfera. Scriviamo la legge di Newton. Otteniamo, in due righe di calcolo, l'equazione di Friedmann, quella dei modelli cosmologici dello stesso nome:

Potrete ritrovare i tre tipi di soluzione di questa equazione differenziale del secondo ordine, che danno i modelli:

• Ciclico (R in cicloide)

• Iperbolico (R tendente a un'asintoto)

• Detto di Einstein-de Sitter, in tq

Nel 1934 Milne e Mac Crea dimostrarono che l'equazione principale della RG poteva emergere dal newtoniano. Negli anni settanta avevo fatto lo stesso con la soluzione maxwelliana dell'equazione di Boltzmann, accoppiata all'equazione di Poisson. Passiamo oltre...

Ci concentreremo sulla soluzione in tm costruita da Einstein e de Sitter:

Rendiamo questa equazione adimensionale introducendo una dimensione caratteristica che sarà semplicemente il valore iniziale del raggio. Appare allora un tempo caratteristico:

Se la soluzione di Einstein-de Sitter descrive un'espansione rallentata, a partire da condizioni iniziali esplosive, è simmetrica cambiando t in -t. Otteniamo due parabole simmetriche rispetto a un tempo t = 0, ovviamente arbitrario. Se "leggiamo" la curva di sinistra abbiamo quindi la descrizione di un crollo gravitazionale, che si autoaccelera.

A questo fenomeno è associato questo tempo caratteristico che chiamiamo tempo di Jeans. Si vede quindi che una massa di polveri (insieme di particelle prive di velocità di agitazione), qualunque sia la sua estensione 2R, collassa in un tempo* che dipende solo dal valore della densità*.

Ora considereremo il fenomeno inverso: una nube di masse m, di dimensione L, che è sede di un moto di agitazione termica. Trascuriamo le forze gravitazionali. La nube si disperderà in un tempo caratteristico pari a L diviso per il valore medio della velocità di agitazione termica , legato alla temperatura assoluta T (vedi dossier precedente, sulla teoria cinetica dei gas). Chiameremo questo tempo di dispersione td. In una sfera di gas questi due fenomeni saranno antagonistici. Ci si accorge allora che il tempo di dispersione è maggiore del tempo caratteristico di implosione, o di accrescimento se semplicemente l'estensione del "grumo" considerato supera una certa lunghezza caratteristica, la Lunghezza di Jeans Lj

Questa è proporzionale alla velocità di agitazione termica e inversamente proporzionale alla radice quadrata della densità r. Così "se riscaldi, stabilizzi".

• Cosa riscalda (per esempio una massa di gas interstellare)? Risposta: le stelle calde, che emettono radiazione UV.

• Cosa raffredda? Le perdite radiative (il gas irradia infrarossi).

Una massa di gas interstellare funziona quindi come un water, è sede di un fenomeno omeostatico. Se il gas si raffredda (radiativamente) diventa gravitazionalmente instabile e dà origine a stelle che, espellendo UV, lo riscaldano e lo rigonfiano. È un meccanismo "anti-depressione". Il fenomeno stellare svolge nei confronti del gas il ruolo di un antidepressivo. Questo gas, in una galassia a spirale, è confinato in un disco molto piatto, di qualche centinaio di anni luce di spessore, che è poco rispetto ai 100.000 anni luce che rappresentano il diametro della galassia. Lo strato di gas ha la geometria di un disco microsolcato. È di spessore costante, semplicemente perché questo spessore è regolato dallo stesso fenomeno anti-depressione, ovunque.

Alcuni di voi hanno provato a modellare per simulazione un'instabilità gravitazionale, senza successo. Perché il loro gas era troppo caldo, oppure perché i punti massa non erano abbastanza massivi. Così la distanza di Jeans era superiore al diametro del loro grumo iniziale; si verifica un fenomeno analogo in 2D, quando si lavora su una sfera, cosa che alcuni di voi hanno fatto. Potrete divertirvi a costruire l'equivalente della teoria di Jeans in 2D. Troverete allora una lunghezza caratteristica che sarà proporzionale alla velocità di agitazione termica 2D, sulla "pelle" di questa sfera. La densità svolgerà un ruolo analogo a quello in 3D, ma devo ammettere che stasera ho la pigrizia di chiarire questo problema, senza interesse reale, poiché l'universo è 3D e non 2D. Ma qualitativamente i fenomeni sono simili. Si dovrebbe quindi arrivare a una lunghezza di Jeans 2D. Se questa è superiore al perimetro di un grande cerchio della sfera, nessun grumo. Se questa lunghezza di Jeans è piccola rispetto a quel perimetro: tanti grumi. Quando avrete a disposizione i programmi di calcolo sulla sfera 2D potrete divertirvi con questo. D'Agostini ha realizzato un superprogramma che installerò nel dossier seguente. Avrete sia l'eseguibile che il codice sorgente, per modificare. È in Pascal.

L'espansione raffredda. Isentropica, è destabilizzante.

Si vede che la lunghezza di Jeans cresce come radice di R. Pertanto inevitabilmente un sistema in espansione isentropica diventa instabile, si frammenta. Se non ci fossero stati i fotoni, il radiazione cosmologica, l'universo avrebbe creato grumi fin dal suo più giovane età. In realtà si è scoperto che l'accoppiamento materia-radiazione ha inibito l'instabilità gravitazionale fino a quando l'universo si è dissociato verso t = 100.000 anni. Se si prende allora la velocità di agitazione termica dell'idrogeno, appena sotto i 3000°, e la densità che regnava all'epoca, si trova un certo valore della lunghezza di Jeans, e se si calcola la massa contenuta in questi grumi si trova la massa di Jeans associata, che all'epoca si avvicinava alle 100.000 masse solari. È quindi logico pensare che al momento del decoupling fossero proprio masse equivalenti a quelle degli ammassi globulari a costituirsi in grumi separati.

Una piccola osservazione per concludere. Quando arrivai all'osservatorio di Marsiglia, fuggivo da un'orribile situazione che era l'Istituto di Meccanica dei Fluidi (alias "laboratorio di plutomeccanica"). Il laboratorio, che era accanto alla attuale stazione degli autobus a Marsiglia, vicino alla stazione ferroviaria di Saint Charles, è stato demolito qualche anno fa. Il suo direttore è sei piedi sotto terra. Lì avevo annullato l'instabilità di Vélikhov nel 1966, cosa che aveva generato molte febbri. Un giorno, seduto davanti al mio generatore MHD impulsivo a forma di cannone a gas, mi ero detto: "figlio di buona donna, se non te ne vai da qui, diventerai come gli altri". Così, in pochi mesi, avevo divorato un trattato sulla teoria cinetica dei gas, il "Chapman e Cowling", intitolato "The mathematical theory of non uniform gases", Cambridge University Press. Un ottimo libro che non raccomando abbastanza e che introdurrà chi volesse andare oltre nella teoria con il calcolo mediante dyadi, matrici dyadiques. In fase di digestione avevo avuto una o due idee e costruito una tesi di dottorato – canotto di s...