Problemi di geodetiche
Sapete tracciare una geodetica su una superficie utilizzando del nastro adesivo. Domanda: in quali condizioni una geodetica tracciata su un cono può intersecarsi con se stessa?
Prendiamo un punto su un cono di rotazione e facciamo partire una geodetica in una direzione perpendicolare a una delle sue generatrici: 
Consideriamo la generatrice simmetrica rispetto all'asse di rotazione di questo cono (ogni cono può sempre essere deformato in un cono di rotazione senza alterare il disegno delle sue geodetiche). Nel caso del disegno sopra, otterremmo questo, appiattendo il nostro cono:
Si sa che l'angolo di taglio rappresenta allora la quantità di curvatura angolare concentrata nel vertice del cono. La geodetica si trasforma allora in una retta del piano, poiché la superficie è sviluppabile.
Si vede che perché una geodetica possa intersecarsi con se stessa è necessario che l'angolo di taglio sia maggiore di 180°, cioè che il cono sia abbastanza acuto.
Ricostruendo il nostro cono otterremo:
Una geodetica di un cono può raggiungere il vertice?
Solo le generatrici del cono possono farlo. Qualsiasi geodetica tracciata su un cono, anche se si avvicina molto al vertice, non potrà che allontanarsene, anche se sembra "tracciata in modo da avvicinarsi". Basta unire il vertice del cono al punto più vicino a questa geodetica. La generatrice intersecherà allora la geodetica a angolo retto. Si potrà effettuare un taglio lungo la geodetica opposta e appiattire la superficie.
Per quanto acuto possa essere il nostro cono, otterremo solo intersezioni successive.
Le geodetiche possono intersecarsi all'infinito? Quando si sviluppa il cono, tutto avviene come se la geodetica "rimbalzasse" sulla generatrice che unisce il vertice al punto di incontro.
Sopra, ovviamente, il "rimbalzo" invia le due parti della generatrice in direzioni tali che non potranno più intersecarsi. Per ottenere più intersezioni è necessario un cono molto acuto.
Ma ad ogni "rimbalzo" l'angolo si apre e finisce per rimanere intrappolato nel settore 2π – q. Il numero di intersezioni è finito.
Le generatrici del cono costituiscono una famiglia del tutto particolare. Ma cos'è un cono?
Possiamo considerare che l'oggetto "cono" corrisponda al disegno qui sotto, figura a sinistra. Le geodetiche-generatrici sono allora semirette.
Ma possiamo anche considerare che un cono corrisponda all'oggetto a destra. In questo caso, cos'è una geodetica? Se è il percorso più breve che collega due punti, potremmo trovarci in situazioni di questo tipo:
Possiamo optare per una struttura conica in cui ogni generatrice si prolunga lungo una seconda generatrice situata nel secondo emicono e solo una, formando un insieme continuo. Possiamo immaginare punti conici in uno spazio a tre dimensioni (vedi articolo 11 di Geometrical Physics A).
Altri tipi di singolarità.
I punti cuspidali sono punti singolari. Possiamo individuarne altri. Ad esempio i "punti conici", dove i punti di ribaltamento della superficie, "punti di rigonfiamento".
A sinistra, una sfera con un punto conico. A destra, un punto di rigonfiamento.
Creiamo un punto conico con un punzone. Possiamo quindi chiamare la modifica "creazione di punto conico" P e il suo inverso P⁻¹.
Allo stesso modo, la creazione di un punto di rigonfiamento corrisponderebbe alla modifica H. In realtà, la creazione del rigonfiamento segue quella del punto conico. È un punto conico il cui angolo al vertice è diventato nullo. La modifica che porta al rigonfiamento locale di una superficie sarebbe quindi P H, e il suo inverso H⁻¹P⁻¹.
Esistono altre modalità per modificare una superficie, ad esempio creando un diedro. La creazione di un diedro sarà la modifica D. Questa può essere realizzata indipendentemente da ogni altra, a patto che interessi un percorso chiuso (su una superficie regolare). L'esempio più semplice è quello della sfera. Possiamo creare un "piega" lungo il suo equatore, ad esempio. Nel frattempo, questa piega contiene una "curvatura lineare", argomento già trattato nell'introduzione di Geometrical Physics A.
Se, su una superficie regolare, questa modifica interessa un segmento, gli estremi di questo segmento subiranno ciascuno una modifica P.
Prendiamo una sfera, una sfera "morbida", deformabile. Mettiamoci all'interno con un segmento, una riga rigida, e spingiamo la sfera. Le due estremità della riga iniziano a entrare in contatto con la superficie. Effetto "punta": comparsa di due punti conici. Continuiamo a spingere. Il segmento entra in contatto con la sfera, ma il diedro non si forma ancora. Se è in contatto con la sfera, ciò significa semplicemente che esiste sulla sfera un percorso rettilineo AB. Ma ciò non implica automaticamente che la sfera abbia una piega. Possiamo paragonare questo a montare una tenda da campeggio con due pali. Installiamo i pali
Effetto delle due modifiche P. Creazione di due punti conici A e B.
poi tendiamo un cavo che li unisce. Ma se l'interno della tenda è in depressione, il telo non penzolerà lungo il cavo formando una piega.
Tensione del cavo: la superficie acquista un segmento AB rettilineo. Ma se il vento soffia e la tenda è leggermente in sovrapressione, il vicinato del segmento potrebbe mantenere, lungo il segmento, la continuità del piano tangente, testimoniato dalla vista della tenda da un altro angolo.
Se il vento cessa, le pareti della tenda crolleranno sotto il proprio peso. Non appena il movimento inizia, la continuità del piano tangente viene interrotta. Compare il diedro. Modifica D.
A cosa può servire tutto ciò?
Prima di passare alle applicazioni pratiche, dobbiamo definire un'altra modifica. Immaginate un cono: ha un punto conico che concentra la "curvatura angolare". Se il punto conico non fa parte di un "vero" cono, il cui fianco è privo di curvatura, la superficie è assimilabile a un cono, a piccola distanza dal punto conico. Ciò equivale a dire che in un punto conico di una superficie esiste un "cono tangente".
Ma torniamo al nostro cono. Possiamo facilmente far vicinare due punti conici. Possiamo persino costruire fisicamente una tale superficie, a partire da due tagli effettuati su un piano:
I tratti che partono da A e B sono semplicemente dei "tagli..."