Cosmologia matematica e teoria dei poliedri
... Questo è un monoeidro che ho inventato, un giorno di pioggia. Se lo osservate attentamente, si tratta di un poliedro che possiede una sola faccia e un solo lato. Se prendete un punto sulla singola faccia e applicate un vettore normale, facendolo ruotare, esso ricompare dopo aver subito una rotazione di 90°. Solo dopo il quarto giro ritorna nella sua posizione iniziale.
... Avevo disegnato sopra "per eleganza", immaginandolo nella mia mente. Ma esistono ora programmi in grado di gestire oggetti di questo tipo. Coloro che hanno già scaricato (gratuitamente) Cosmo Player o che si dispongono a farlo potranno ammirare il lavoro del mio amico Christophe Tardy su questo monoeidro. Nel frattempo ho rielaborato con un codice di disegnatore l'unica spigolo dell'oggetto, come lo aveva estratto da una delle sue immagini. A mia conoscenza non esiste alcun software che utilizzi tratteggi per rappresentare le parti nascoste e interrompa i tratti. Ma si potrebbe altrettanto bene usare un colore più chiaro.
... Comunque, qui abbiamo questo unico spigolo, privo di vertici.
... Curiosità matematica? Forse. Sapete forse, se avete dato un'occhiata ai miei lavori scientifici o alla loro introduzione divulgativa, che sto sviluppando un modello cosmologico "a due fogli", l'idea iniziale proveniente da André Sakharov (1967). Inoltre, questi due "versanti dell'universo" hanno coordinate-tempo opposte. Questa questione del tempo o "dei" tempi resta spinosa. Niente è più scivoloso di questa parola. Cos'è la "freccia del tempo"? Si può parlare di "due frecce del tempo antiparallele"? (era la visione iniziale di Sakharov).
... Nel lavoro che ho pubblicato sulla rivista Nuovo Cimento nel 1994, avevo considerato l'idea, inizialmente suggerita nel 1988 da Linde, che queste regioni "gemelle" potessero in realtà essere "regioni antipodali". Così questi due universi gemelli (a differenza di Linde, i due universi che io considero interagiscono, attraverso il campo gravitazionale, mentre i suoi si ignorano completamente). Sono quindi "contemporaneamente due e uno". Un matematico direbbe che questa struttura è quella di un rivestimento a due fogli (la sfera S2 è il rivestimento a due fogli di una superficie di Boy). In Nuovo Cimento consideravo il rivestimento a due fogli di un proiettivo P3 (equivalente di una superficie di Boy 3D), mettendo in corrispondenza regioni antipodali di un'ipersfera S3. Ma ho sempre pensato che potesse trattarsi in realtà del rivestimento di un proiettivo P4, mettendo in corrispondenza regioni antipodali di un'ipersfera S4. In queste condizioni, l'interazione tra due regioni "adiacenti" di questo cosmo sia unico che doppio mette in corrispondenza regioni antipodali (su questa ipersfera S4) che non solo sarebbero enantiomorfe (in specchio, P-simmetriche) ma anche T-simmetriche, cioè "con frecce del tempo opposte". Ritroviamo così l'idea di Andréi Sakharov.
... Il monoeidro è un'immagine (didattica) di un cosmo a quattro fogli, di un "cosmoedro". Un cosmo che sarebbe "contemporaneamente uno in quattro". Quattro regioni così "adiacenti" interagirebbero. Ma quali sarebbero queste regioni? Dove dovremmo "leggere" su una tale figura? La sezione retta del monoeidro (semplice immagine didattica) è un semplice quadrato (poiché è generato dalla rotazione di questo quadrato, vedere l'immaginario in realtà virtuale creato da C. Tardy). Questi quattro lati del quadrato-sezione rappresentano quattro regioni dell'universo che sarebbero in coniugazione. Si può quindi parlare, almeno localmente, di "rivestimento a quattro fogli". Se assimiliamo la normale alla superficie del monoeidro alla freccia del tempo, questa ruota contemporaneamente con il quadrato-generatore. Così le quattro porzioni di universo avrebbero frecce del tempo "a croce", antiparallele a due a due:
... Si può anche descrivere dicendo che ci sono due coppie di universi gemelli, le cui frecce del tempo sono antiparallele a due a due. È come:
( Sakharov )2
... Perché una tale complicazione? Sarebbe forse una nuova ricreazione geometrica? Hmmmm... Vi dirò cosa ho in mente. Quando ho costruito il modello a due universi gemelli, ho dimostrato che il secondo cosmo poteva ospitare una materia del tutto analoga alla nostra, con i suoi protoni-gemelli, elettroni-gemelli, fotoni gemelli, ecc. (si può usare la parola "gemello", proposta da Sakharov, o "fantasma", più in voga nel mondo delle supercorde). Ho anche dimostrato che invertire il tempo equivale in realtà a invertire la massa, quindi l'energia.
... Linde era un allievo di Sakharov. Avevo discusso a lungo con lui nel 1983 a Mosca, in una camera dell'albergo National dove era venuto a raggiungermi. Nel 1988 ha accennato a un universo doppio in cui le due materie avrebbero avuto energie opposte. Poi, rendendosi conto dei problemi che potrebbe comportare far coabitare queste due materie nella stessa regione dello spazio-tempo, rimandò "l'altra materia", a energia negativa, agli antipodi. Ma facendo ciò, non si rese conto di ritrovare l'idea del suo maestro, Sakharov (che proponeva tempi opposti), poiché (J.M. Souriau 1972) invertire il tempo o invertire massa ed energia è esattamente la stessa cosa. ... Se avete il coraggio o la competenza per leggere i lavori di Geometrical Physics B, vedrete che la dualità materia esiste anche nell'universo gemello. Non solo c'è una materia gemella, ma esiste anche, in questo secondo versante dell'universo, una antimateria gemella.
... Tutto ciò può essere esteso a un contesto a quattro fogli. Otterremmo allora una materia immaginaria e una materia immaginaria gemella (con frecce del tempo immaginarie pure, rispetto a noi, antiparallele l'una rispetto all'altra).
... Problema: come questa materia immaginaria interagirebbe con la nostra? Devo ammettere che al momento non ne ho la minima idea, ma troverò qualcosa. La geometria è un mondo ricco di fili di ogni tipo. ... Fermiamoci un attimo su questa idea. Che cos'è questo mondo immaginario, rispetto al nostro? È un meta-mondo, etimologicamente parlando. ... L'attrezzatura del fisico teorico e del cosmologo, che non è altro che quella di un buon geometra, permette di immaginare (come aveva notato Linde nel 1988) dei "mondi paralleli" popolati da particelle che potrebbero essere identiche alle nostre, oppure costituirne le immagini in specchio (simmetria P), oppure i loro doppi con energia negativa (simmetria T), o entrambi contemporaneamente. A questo punto, perché non saltare il passo e immaginare particelle la cui massa, carica, freccia del tempo, ecc., siano puramente immaginarie? Ciò porta all'idea di un meta-mondo che potrebbe essere anch'esso costituito da particelle, soggette a una fisica puramente immaginaria, abbastanza vicina alla nostra, forse, che potremmo quindi qualificare come meta-fisica.
... Non ricordo più quale filosofo abbia scritto: "la metafisica è un grande oceano, e per attraversarlo non abbiamo né barca né vela". Questa frase è una condanna senza appello? Riflettiamo. Non molto tempo fa si considerava, fino a quando qualcuno non riuscì a sintetizzare l'urea (Wöhler nel 1828), che "il vivente" fosse "di competenza di Dio o della Signora Natura", a seconda delle scelte. Dobbiamo ammettere che le cose sono cambiate parecchio da allora. ... Parafrasando, "Dio" o "la Signora Natura" potrebbero essere messi in equazioni, intrappolati grazie alla geometria, alla teoria dei gruppi e alla teoria dei campi (o legati in una rete tessuta con supercorde, a seconda delle scelte)?
... Credo che non ci si debba escludere nulla a priori, ma mescolando audacia e umiltà. A proposito di biologia, i successi considerevoli delle ultime decadi ci danno l'illusione che sappiamo fare molte cose, che "grandi progressi sono stati compiuti" e che, alla fine, presto sapremo tutto di questo fenomeno chiamato "Vita" (è l'ottimismo eterno di Joël de Rosnais). È vero: sappiamo mappare una molecola di DNA, afferrare geni tra pollice e indice, prenderli qui, portarli là, ecc.
Impressionante.
... Ma, come dice Testard, "non funziona". I geni così trapiantati perderebbero la loro funzionalità originale, o semplicemente non sarebbero più funzionali affatto. Ovviamente è una cosa che i trapiantatori di geni non gridano su tutti i tetti. Ma Testard lo dice, il che li disturba molto. L'ingegneria genetica permette di produrre molta spuma, ottenere finanziamenti per brevettare. Non essendo biologo, non sono veramente al corrente di queste cose. Leggete Testard (degli uomini probabili, au Seuil). La conclusione sarebbe che, lavorando come cartografi, non abbiamo avanzato tanto quanto speravamo. "Il DNA", dice Testard, è solo un database. Secondo lui, questa molecola complessa non contiene "tutta l'intelligenza della cellula". Questa "intelligenza" andrebbe cercata nella cellula stessa, che sarebbe "l'entità vivente elementare vera". I trapiantatori di geni sarebbero come persone che in una casa sposterebbero alcuni elementi, metterebbero ad esempio maniglie e serrature su muri invece che su porte con cardini, sorprendendosi che non funzionino, collegherebbero lampadine elettriche a prese d'acqua, stupiti che non si accendano.
Domanda aperta.
... Con questo cosmo a quattro fogli, c'è metafisica nell'aria. Al peggio, sarà solo un tentativo di geometra, una questione per divertirsi tra amici. Al meglio... non lo so.
... Comunque, gli universi gemelli, in quanto rivestimento a due fogli, meritano il qualificativo di "universi paralleli". Se assimiliamo le loro frecce del tempo alla normale a una superficie spaziale e se queste frecce sono antiparallele, allora i due spazi sono come due strati di vernice disposti da entrambi i lati di una superficie 2D.
... Nello stesso ordine di idee, gli altri due universi, con le loro frecce del tempo immaginarie pure, potrebbero essere considerati "ortogonali al nostro". Da qui l'idea di un teorema, che potrebbe uno di questi giorni vedere la luce:
Due universi perpendicolari a un terzo stesso sono paralleli tra loro.
Faccenda da seguire.
