Rappresentazione
poliedrica di un punto cuspide, calcolo della sua curvatura concentrata.
Rappresentazioni
poliedriche di diverse superfici.
Permutazione
dei punti cuspide di una Cross cap.
Trasformazione
di una superficie di Boy "destra" in superficie di Boy "sinistra", passando attraverso la superficie romana di Steiner.
Inversione
"destra"-sinistra di una superficie di Boy.
Jean-Pierre Petit
Direttore di ricerca
al CNRS
1988-1999
Riassunto:
Si presentano alcuni elementi che permettono di rappresentare punti di curvatura concentrata: "posiconi", "negaconi" e i loro equivalenti poliedrici: "posicoin" e "negacoin", che consentono di costruire rappresentazioni poliedriche di diverse superfici e di recuperare la loro curvatura totale. Così, la rappresentazione poliedrica della superficie romana di Steiner è costituita da quattro cubi adiacenti lungo i loro spigoli, rendendola più comprensibile. Una rappresentazione poliedrica della superficie di Boy era già stata data nel Topologicon, 1985, Editions Belin, pagine 48 e 49, sotto forma di taglio da costruire. Nella pagina 46 erano inoltre presentate rappresentazioni poliedriche del toro e della bottiglia di Klein. Vengono fornite rappresentazioni poliedriche della Cross-Cap. La curvatura totale delle diverse immersioni del piano proiettivo in R3: superficie di Boy, Cross-Cap, superficie romana di Steiner, vale 2π. La rappresentazione poliedrica dei punti cuspide, considerati come punti di curvatura concentrata, permette di calcolarla in modo molto semplice. Cross-Cap, superficie romana di Steiner, superficie di Boy si presentano come "i diversi volti" di un unico oggetto: il piano proiettivo. Poiché questo non è evidente a prima vista, si costruiscono trasformazioni geometriche che permettono di passare da una all'altra. Si parte dalla Cross-Cap e la si trasforma in superficie romana di Steiner creando due punti cuspide aggiuntivi (cioè si attua, in questo senso, la modifica generica "creazione-decreazione di punti cuspide"), quindi si trasforma la superficie di Steiner in superficie di Boy per confluenza di coppie di punti cuspide. Inoltre, sfruttando il fatto che l'immersione standard della sfera possa essere trasformata nella sua immersione antipodale (capovolgimento della sfera), si dimostra che i due punti cuspide di una Cross-Cap possono essere scambiati tramite una successione di immersioni, la trasformazione illustrando il fatto che questi due punti sono equivalenti.
PREFAZIONE:
Il lettore troverà qui alcuni elementi generali che si trovano anche nell'introduzione di GEOMETRICAL PHYSICS A (definizione di posiconi, negaconi, ecc.). Se desidera saltare questo passaggio, può semplicemente
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.
Se si disegna su un piano un triangolo formato da segmenti rettilinei, la somma degli angoli nei vertici vale π. Questi segmenti del piano possono essere ottenuti in modo diverso: incollando su una superficie strisce di nastro adesivo qualsiasi, senza fare pieghe. Si chiamano allora questi percorsi del piano delle geodetiche. Si possono tracciare curve geodetiche su qualsiasi superficie con questo metodo, ad esempio sull'ala di un'automobile o sul cofano.
Figura 1: Un triangolo considerato come un insieme di tre geodetiche del piano
POSICONI E NEGACONI
Si effettui una tagliatura su un piano e si ricongiungano i due bordi, quindi si tracci un triangolo con il nastro adesivo, formato da tre geodetiche di questo cono.
Figura 2: Costruzione di un posicone.
Separando le due labbra della superficie lungo la tagliatura precedente (figura 3), si noterà facilmente, usando un goniometro, che la somma degli angoli A, B e C è uguale a
π
più l'angolo di tagliatura α. Questa deviazione rispetto alla somma euclidea la chiameremo curvatura e diremo che il triangolo "contiene" una certa quantità di curvatura angolare α. Questa deviazione sarà la stessa per qualsiasi triangolo, purché contenga il vertice del cono. Se non lo contiene, la somma sarà
π
. Diremo che la curvatura è concentrata nel vertice M del cono, che è quindi un "punto di curvatura concentrata". Poiché la somma degli angoli è maggiore della somma euclidea, diremo che questa curvatura è positiva. Così, un piano sarebbe, in questa ottica, una superficie a curvatura nulla.
Figura 3: Il posicone disteso.
Questa curvatura è additiva. Se si incollano insieme diversi coni corrispondenti a angoli
α, β, γ,
si possono tracciare tutti i tipi di triangoli formati da archi geodetici. Se il triangolo contiene tre punti corrispondenti a curvature concentrate uguali a
α, β, γ,
allora la somma dei suoi angoli nei vertici sarà:
π + α + β + γ
.
Si può considerare una superficie a curvatura positiva come una sfera come un insieme di un numero infinito di "posiconi". Invece di avere una curvatura concentrata in punti diversi, si avrà una curvatura distribuita uniformemente su tutta la superficie. Diremo che la sfera è una superficie "a curvatura costante" (o a "densità di curvatura angolare costante").
Fig. 4: Un triangolo formato da tre archi geodetici.
Nella sfera, le geodetiche sono "grandi cerchi". L'equatore e i meridiani sono grandi cerchi, sono archi geodetici della sfera. Ma non riuscirete a creare un parallelo con un nastro adesivo. I paralleli non sono geodetiche della sfera. La somma degli angoli nei vertici di un triangolo disegnato sulla sfera dipende dal rapporto tra l'area del triangolo e quella della sfera. La somma degli angoli di un triangolo molto piccolo sarà molto vicina a
π
.
Un triangolo la cui area fosse un ottavo dell'area della sfera avrebbe una somma
A + B + C = 2π
Un grande cerchio della sfera può essere considerato come un "triangolo", a condizione di posizionare i tre vertici... ovunque su questo cerchio. La somma A + B + C sarà pari a 3π. Contiene metà dell'area della sfera.
Qual è l'errore massimo? Non si può dire "allarghiamo" il triangolo andando oltre questo grande cerchio, perché oltre questo la lunghezza degli archi geodetici che formano i suoi lati comincia a diminuire e tende addirittura a zero.
Quando si è racchiusa tutta la superficie della sfera si ottiene
A + B + C = 5π = π + 4π
Diremo che la
curvatura totale
della sfera vale 4π.
Fig. 5: Somma degli angoli. Triangolo formato da archi geodetici della sfera.
La quantità di curvatura contenuta da un triangolo corrisponde a una semplice regola di tre:
Ora creeremo un "negacone", inserendo questa volta un settore angolare α in un piano, come indicato nella figura 6
Fig. 6: Un "negacone"
Quando si elimina il settore angolare si ottiene questo:
Fig. 7: Il negacone disteso.
La somma degli angoli del triangolo vale A + B + C = π - α
Diremo che questa superficie è un negacone che possiede un
punto di curvatura concentrata, negativa
. Questa curvatura è anch'essa additiva. Componendo una superficie con una giustapposizione di piccoli posiconi e piccoli negaconi si può creare una superficie in cui il valore locale della curvatura sia qualsiasi.
La figura 7 è una superficie a curvatura negativa distribuita. Si dirà anche che questa superficie possiede, in ogni punto, una
densità di curvatura
(angolare). La deviazione (negativa) rispetto al valore euclideo della somma degli angoli dipenderà qui anch'essa dall'area del triangolo. Più piccola sarà questa area e più la somma sarà vicina a π...