Problemi di geodetiche.
Sapete tracciare una geodetica su una superficie usando del nastro adesivo. Domanda: in quali condizioni una geodetica tracciata su un cono può intersecarsi con se stessa?
Prendiamo un punto su un cono di rotazione e facciamo partire una geodetica in una direzione perpendicolare a una delle sue generatrici:
Consideriamo la generatrice simmetrica rispetto all'asse di rotazione di questo cono (ogni cono può sempre essere deformato in un cono di rotazione senza alterare il disegno delle sue geodetiche). Nel caso del disegno sopra, otterremmo questo, stendendo il nostro cono piatto:
Si sa che l'angolo di taglio rappresenta la quantità di curvatura angolare concentrata nel vertice del cono. La geodetica si trasforma allora in una retta nel piano, poiché la superficie è sviluppabile.
Si vede che perché una geodetica possa intersecarsi con se stessa è necessario che l'angolo di taglio sia maggiore di 180°, cioè che il cono sia abbastanza acuto.
Ricostruendo il nostro cono, otterremo:
Una geodetica di un cono può raggiungere il vertice?
Solo le generatrici del cono possono farlo. Qualunque geodetica tracciata su un cono, anche se molto vicina al vertice, non potrà che allontanarsene, anche se sembra "tracciata per avvicinarsi". Basta unire il vertice del cono al punto più vicino a questa geodetica. La generatrice intersecherà allora la geodetica con un angolo retto. Si potrà operare un taglio lungo la geodetica opposta e stendere il cono piatto.
Per quanto acuto possa essere il nostro cono, otterremo solo intersezioni successive.
Le geodetiche possono intersecarsi infinite volte? Quando si sviluppa il cono, tutto avviene come se la geodetica "rimbalzasse" sulla generatrice che unisce il vertice al punto di incontro.
Sopra, ovviamente, il "rimbalzo" invia le due parti della generatrice in direzioni tali che non potranno più intersecarsi. Per avere più intersezioni è necessario un cono molto acuto.
Ma ad ogni "rimbalzo" l'angolo si apre e finisce per rimanere intrappolato nel settore 2p - q. Il numero di intersezioni è finito.
Le generatrici del cono costituiscono una famiglia del tutto particolare. Ma cos'è un cono?
Possiamo considerare che l'oggetto "cono" corrisponda al disegno qui sotto, figura a sinistra. Le geodetiche-generatrici sono allora semirette.
Ma possiamo considerare che un cono corrisponda all'oggetto a destra. In queste condizioni, cos'è una geodetica? Se è il percorso più breve che collega due punti, potremmo ottenere situazioni di questo tipo:
Possiamo optare per una struttura conica in cui ogni generatrice si prolunga lungo una seconda generatrice situata sul secondo emicono e una sola, formando un insieme continuo. Possiamo concepire punti conici in uno spazio a tre dimensioni (vedi articolo 11 di Geometrical Physics A).
Altri tipi di singolarità.
I punti cuspidali sono punti singolari. Possiamo individuarne altri. Per esempio i "punti conici", dove i punti di ripiegamento della superficie, "punti di rigonfiamento".
A sinistra, una sfera con un punto conico. A destra un punto di rigonfiamento.
Creiamo un punto conico con un punzone. Potremmo quindi chiamare la modifica "creazione di punto conico" P e il suo inverso P⁻¹.
Allo stesso modo, la creazione di un punto di rigonfiamento corrisponderebbe alla modifica H. In realtà, la creazione del rigonfiamento segue quella del punto conico. È un punto conico il cui angolo al vertice è diventato nullo. Quindi la modifica che porta al rigonfiamento locale di una superficie sarebbe PH e il suo inverso: H⁻¹P⁻¹.
Ci sono altre modalità per modificare una superficie, per esempio creando un diedro. La creazione di un diedro sarà la modifica D. Questa può essere realizzata indipendentemente da qualsiasi altra, a condizione che riguardi un percorso chiuso (su una superficie regolare). Il caso più semplice è quello della sfera. Si può creare un "piego" lungo il suo equatore, per esempio. Nel passaggio, questo piego conterrà una "curvatura lineare", argomento già trattato nell'introduzione di Geometrical Physics A.
Se, su una superficie regolare, questa modifica riguarda un segmento, gli estremi di questo segmento subiranno ciascuno una modifica P.
Prendiamo una sfera, una sfera "morbida", deformabile. Mettiamoci dentro con un segmento, una riga rigida e spingiamo la sfera. Le due estremità della riga cominciano a entrare in contatto con la superficie. Effetto "punta": comparsa di piccoli punti conici. Continuiamo a spingere. Il segmento entra in contatto con la sfera, ma il diedro non si forma ancora. Se è in contatto con la sfera, significa semplicemente che esiste sulla sfera un percorso rettilineo AB. Ma ciò non implica automaticamente che la sfera abbia un piego. Possiamo paragonarlo al montaggio di una tenda da campeggio con due pali. Installiamo i pali
Effetto delle due modifiche P. Creazione di due punti conici A e B.
poi tendiamo un cavo che li unisce. Ma se l'interno della tenda è in depressione, la tela non penderebbe lungo il cavo formando un piego.
Tensione del cavo: la superficie acquista un segmento AB rettilineo. Ma se il vento smette di soffiare e la tenda è leggermente in sovrapressione, il vicino del segmento potrebbe conservare, lungo il segmento, la continuità del piano tangente, testimoniato dalla vista della tenda secondo un altro angolo.
Se il vento smette di soffiare, le pareti della tenda crolleranno sotto il proprio peso. Non appena il movimento inizia, la continuità del piano tangente viene rotta. Il diedro appare. Modifica D.
A cosa può servire tutto questo?
Prima di passare alle applicazioni pratiche, dobbiamo definire un'altra modifica. Immaginate un cono: ha un punto conico che concentra la "curvatura angolare". Se il punto conico non fa parte di un "vero" cono, il cui fianco è privo di curvatura, la superficie è assimilabile a un cono, a piccola distanza dal punto conico. Ciò equivale a dire che in un punto conico di una superficie esiste un "cono tangente".
Ma torniamo al nostro cono. Possiamo facilmente far vicinare due punti conici. Possiamo persino costruire fisicamente una tale superficie, a partire da due tagli praticati su un piano:
I tratti che partono da A e B sono semplicemente "cuciture" o "incollature". Possiamo rimuoverli:
Possiamo far convergere i punti conici, nel qual caso questo "bicorno" si trasformerà in un cono, il cui vertice conterrà una quantità di curvatura angolare uguale alla somma delle curvature concentrate nei due punti conici che abbiamo fatto convergere.
q₁ + q₂
Possiamo quindi considerare una nuova modifica "convergenza di punti conici":
Conf
Con il suo inverso:
(ConfP)⁻¹
Prendete ora una sfera e infilatela con otto segmenti. Ciò creerà otto diedri e sedici punti conici. Possiamo poi far convergere i punti conici a due a due e ottenere... un cubo.
Sappiamo ora trasformare una sfera in un cubo e viceversa. Allo stesso modo, questo ci aiuterà a costruire le rappresentazioni poliedriche delle superfici. Tuttavia, "gonfiamo" il nostro cubo, come la tela della tenda poco fa:
Gli spigoli sono scomparsi. Otteniamo un risultato che avremmo ottenuto infilando otto "pali" dall'interno di una sfera, creando otto punti conici. Se un telaio interno mantenesse la distanza tra queste otto punte, ma la pressione interna fosse sufficiente, potremmo fare in modo che tutta la curvatura sia contenuta in questi otto punti conici, cioè p/2 per ciascuno (se costruite otto coni con curvatura pari a p/2 potrete assemblarli per costituire questo oggetto). Anche se al contatto la superficie sembra curva, la sua densità di curvatura è ovunque nulla: tutta la curvatura è concentrata nei otto punti conici. In totale, ritroverete la curvatura totale della sfera, pari a 4p. Se in questo momento aumentiamo o diminuiamo la pressione interna, il nostro cubo si deformerà, le sue pareti conterranno ora curvatura, ma in modo tale che la somma rimanga sempre uguale alla curvatura totale della sfera. L'immagine seguente corrisponde a un "cubo in stato di depressione".
I punti conici contengono allora una curvatura superiore a p/2, ma l'apparizione di curvatura negativa altrove compensa questo eccesso.
L'altra superficie potrebbe essere ottenuta prendendo una sfera, disporre su di essa otto punti che formano i otto vertici di un cubo "attaccati dall'interno da un telaio rigido". Mettendo una depressione all'interno di questa sfera si farebbero apparire punti conici, la superficie arrangiandosi, mantenendo un campo di densità di curvatura continuo, in modo che la somma delle curvature, concentrate o distribuite sulla superficie, sia sempre 4p.
Più in alto avevamo accennato alla modifica "rigonfiamento" H, che porta l'angolo al vertice di un punto conico a zero:
Domanda: quale quantità di curvatura è concentrata in un "punto di rigonfiamento"?
Sapete che più un cono è chiuso, acuto, più la quantità di curvatura che contiene è grande. Si calcola contando l'ampiezza angolare del settore rimosso quando si crea questo "cono" (Vedere "Il buco nero", nel CD Lanturlu). Questa non può essere superiore a 2p. Quindi la quantità di curvatura angolare contenuta in un "punto di rigonfiamento" è 2p.
Altra modalità di valutazione: posizionate un segmento in una sfera e dilatatevelo.
La quantità di curvatura contenuta in ciascuno dei punti conici tenderà a 2p, mentre quella che rimane nella sfera di aspetto misero tenderà a zero, in modo che la curvatura totale rimanga uguale a 4p.
A cosa potranno servirci questi punti di rigonfiamento, se non a trasformare una sfera in un riccio?
Creiamo due punti di rigonfiamento su una sfera, diretti verso il suo centro:
Subito prima del contatto tra due punti di rigonfiamento, il resto della superficie della sfera contiene una curvatura integrata nulla, poiché questi punti contengono ciascuno 2p.
Quando il contatto è stabilito, otteniamo un toro a "gola nulla".
È quindi necessario considerare una nuova modifica "allargamento della gola" Eg con la sua trasformazione inversa: "restringimento della gola" Eg⁻¹.
Possiamo ancora giocare con la trasformazione P (creazione di punti conici). Creiamo due punti conici su una sfera, precedentemente trasformata in una salsiccia di Frankfurter, quindi portiamo questi due punti in contatto.
Otteniamo questo oggetto strano:
Secondo la definizione "restrittiva" delle geodetiche nel vicinato di un punto conico, questa superficie possiede un insieme non singolare di geodetiche.
Possiamo proseguire con una nuova modifica che avrebbe l'effetto di aprire un passaggio tubolare:
Altra modalità per trasformare una sfera in un toro. In realtà, si può esplorare tutto questo, in questa giungla 2D. Possiamo immaginare modifiche che creano buchi o li chiudono. Le superfici possono essere piegate, punzionate, strappate, ripassate, cucite, strizzate, gonfiate, restringite, dipinte. Ma solo il mondo della matematica permette loro di autoattraversarsi (immersioni). Tuttavia si dice che i morti, nel giorno del Giudizio Universale, risorgeranno sotto forma di "corpi gloriosi", i quali avranno allora la possibilità di attraversare qualsiasi cosa, compresi altri "corpi" gloriosi incrociati sul cammino. Più bisogno di cambiare marciapiede quando ci si incrocia: sarebbe sufficiente allora passarsi attraverso. Lo studio delle immersioni prefigura forse allora quello della metafisica. In ogni caso, nel prossimo articolo vi racconteremo la saga dei capovolgimenti della sfera e del toro.
A seguire
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