a206 Un modello cosmologico: la doppia esplosione. (p.6) Consideriamo ora uno spazio infinito riempito da un materiale di densità costante. Qual è il campo gravitazionale vicino a un punto dato O? Immediatamente, pensiamo:
- Prendiamo l'equazione di Poisson:
(165)
DY = 4 p G r
dove Y è il campo gravitazionale e r la densità di massa. Prima osservazione: una densità costante r non si adatta a un potenziale costante. Bene... risolviamo il problema in condizioni di simmetria sferica. (166)
Il campo gravitazionale è: (167)
La soluzione è: (168)
Il campo gravitazionale (radiale) non nullo diventa: (169)
che tende all'infinito all'infinito (...). Qual è il campo gravitazionale? In linea di principio, è la forza che agisce su una massa di riferimento m = + 1. (169 bis)
...O è un punto arbitrario. M è un altro punto arbitrario. Trovo che una massa di prova m = +1, situata in M, è attratta radialmente da O. Questo permette di calcolare il campo gravitazionale in un buco sferico. Possiamo utilizzare lo schema seguente. (170)
...Possiamo calcolare il campo dovuto alla sfera a destra, riempita da un materiale di densità costante. Successivamente, otteniamo nuovamente il risultato precedente: il campo gravitazionale è nullo nel buco sferico.
Diciamo che è falso.
- Nel primo caso, abbiamo supposto che la legge di Newton sia valida a distanze infinite.
- Nel secondo caso, supponiamo che l'equazione di Poisson sia valida in un mezzo uniforme.
...Nell'articolo menzionato in precedenza, torniamo all'origine dell'equazione di Poisson e della legge di Newton. Corrisponde all'approssimazione newtoniana: in senso stretto: campo debole e velocità piccole rispetto alla velocità della luce. Come indicato nell'articolo, l'analisi classica si basa su metriche in stato stazionario (il termine di ordine zero e il termine di perturbazione sono scelti indipendenti dal tempo). Il termine di ordine zero della metrica è identificato con lo spazio di Minkowski, che si adatta alle condizioni di stato stazionario (poiché si tratta di uno spazio vuoto).
...Ma non si adatta più quando si ha una distribuzione di massa uniforme non nulla in combinazione con condizioni stazionarie. Una tale soluzione semplicemente non esiste. Se c'è della materia, si ottengono modelli di Friedmann, non un modello di stato stazionario.
...Conclusione: l'analisi classica non può essere estesa alle distribuzioni di massa a densità costante, dove diventa impossibile definire un qualsiasi potenziale gravitazionale. In conclusione: La forza gravitazionale in una distribuzione di massa a densità costante non limitata è nulla ovunque.
...Corollario: Il campo gravitazionale all'interno di un buco sferico è non nullo.
Stessa cosa se il buco ha la forma di un ellissoide piatto: (171)
...Fisicamente, il confine non è così netto. Esiste un gradiente di densità di materia, così come un gradiente di pressione. Se la galassia viene rimossa, tale gradiente di pressione farà scomparire il buco. Nell'articolo: J.P. Petit e P. Midy: Materiale oscuro repulsivo. Fisica geometrica A, 3, 1998. Figura 4.
abbiamo utilizzato una distribuzione di massa non netta.
Versione originale (inglese)
a206 A cosmological model : The twin bang. (p.6) Consider now an infinite space, filled by constant density material. How is the gravitational field in the vicinity of a given point O ? Immediatly, we think :
- Let us take the Poisson equation :
(165)
DY = 4 p G r
where Y is the gravitational field and r the mass-density. First remark : a constant density r does not fit a constant potential. Well.. let us solve the problem in spherically symmetric conditions. (166)
The gravitational field is : (167)
The solution is : (168)
The non-zero ( radial ) gravitational field becomes : (169)
which tends to infinite at the infinite (...). What is the gravitational field ? In principle it is the force acting on a reference mass m = + 1 . (169 bis)
...O is an arbitrary point. M another arbitrary point. I find that a test-mass m = +1, located in M, is radially attracted by O. This makes possible to compute the gravitational field in a spherical hole. We can use the following schema. (170)
...We can compute the field due to the sphere on the right, filled by constant density material. Then we refind the preceeding result : the gravitational field is zero in the spherical hole.
We say it's false.
- In the first case we have assumed that the Newton's law is valid for infinite distances.
- In the second one we assume that the Poisson equation is valid for a uniform medium.
...In the afore-mentioned paper we return to the origin of the Poisson equation and Newton's law. It corresponds to Newtonian approximation : strictly talking : weak field and small velocities with respect to light velocity. As pointed out in the paper, the classical analysis is based on steady state metrics (zeroth order term and perturbation term are chosen time-independent). The zeroth order term on the metric is identified to Minkowski space, which fits steady state condition (for it is an *empty *space).
...But it does not fit any longer, non-zero uniform mass distribution plus steady conditions. *Such a solution simply does not exist. *If any matter is present we get Friedmann models, not steady state model.
...Conclusion : The classical analysis cannot be extended to constant density mass distributions where it becomes impossible to define any gravitational potential. As a conclusion : The gravitational force in an unbounded constant density mass distribution is zero everywhere.
...Corollary : The gravitational field inside a spherical hole is non-zero.
Same thing if the hole looks like a flat ellipsoid : (171)
...Physically, the frontier is not so abrupt. There is a matter density gradient, and a pressure density gradient. If the galaxy is removed, such pressure gradient would make the hole disappear. In the paper : J.P.Petit and P.Midy : Repulsive dark matter. Geometrical Physics A , 3, 1998. Figure 4.
we have used such non-abrupt mass distribution.