A modello cosmologico: Il doppio Big Bang. (p.6)
Consideriamo ora uno spazio infinito, riempito da materia di densità costante. Qual è il campo gravitazionale nelle vicinanze di un dato punto O?
Immediatamente, pensiamo:
- Prendiamo l'equazione di Poisson:
(165)
DY = 4 p G r
dove Y è il campo gravitazionale e r la densità di massa.
Prima osservazione: una densità costante r non si adatta a un potenziale costante. Bene.. risolviamo il problema in condizioni di simmetria sferica.
(166)
Il campo gravitazionale è:
(167)
La soluzione è:
(168)
Il campo gravitazionale (radiale) non nullo diventa:
(169)
che tende all'infinito all'infinito (...).
Qual è il campo gravitazionale? In principio è la forza che agisce su una massa di riferimento m = + 1.
(169 bis)
...O è un punto arbitrario. M un altro punto arbitrario. Trovo che una massa di prova m = +1, situata in M, è attratta radialmente da O. Ciò consente di calcolare il campo gravitazionale in una cavità sferica. Possiamo usare lo schema seguente.
(170)
...Possiamo calcolare il campo dovuto alla sfera sulla destra, riempita da materia di densità costante. Ritroviamo quindi il risultato precedente: il campo gravitazionale è nullo nella cavità sferica.
Diciamo che è falso.
- Nel primo caso abbiamo assunto che la legge di Newton sia valida per distanze infinite.
- Nel secondo assumiamo che l'equazione di Poisson sia valida per un mezzo uniforme.
...Nel suddetto articolo torniamo all'origine dell'equazione di Poisson e della legge di Newton. Corrisponde all'approssimazione newtoniana: a rigore: campo debole e piccole velocità rispetto alla velocità della luce. Come sottolineato nell'articolo, l'analisi classica si basa su metriche di stato stazionario (il termine di ordine zero e il termine di perturbazione sono scelti indipendenti dal tempo). Il termine di ordine zero nella metrica è identificato con lo spazio di Minkowski, che si adatta alla condizione di stato stazionario (poiché è uno spazio vuoto).
...Ma non si adatta più, distribuzione di massa uniforme non nulla più condizioni stazionarie. Una tale soluzione semplicemente non esiste. Se è presente materia, si ottengono modelli di Friedmann, non un modello di stato stazionario.
...Conclusione: L'analisi classica non può essere estesa a distribuzioni di massa di densità costante dove diventa impossibile definire qualsiasi potenziale gravitazionale. Come conclusione:
La forza gravitazionale in una distribuzione di massa di densità costante illimitata è zero ovunque.
...Corollario:
Il campo gravitazionale all'interno di una cavità sferica è non nullo.
Stessa cosa se la cavità ha l'aspetto di un ellissoide piatto:
(171)
...Fisicamente, il confine non è così brusco. C'è un gradiente di densità di materia e un gradiente di densità di pressione. Se la galassia viene rimossa, tale gradiente di pressione farebbe scomparire la cavità. Nell'articolo:
J.P.Petit e P.Midy: Materia oscura repulsiva. Geometrical Physics A, 3, 1998. Figura 4.
abbiamo usato una tale distribuzione di massa non brusca.