nuovo cimento cosmologia universo gemelli
Prefazione all'articolo pubblicato nel 1994 sulla rivista Nuovo Cimento
...Il punto di partenza di questo lavoro risale al 1977. Due note ai Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris:
J.P. Petit: "Universi enantiomorfi con frecce del tempo opposte", CRAS del 8 maggio 1977, t. 285, pp. 1217-1221
J.P. Petit: "Universi in interazione con la loro immagine nello specchio del tempo", CRAS del 6 giugno 1977, t. 284, serie A, pp. 1413-1416
...Nel lavoro che segue avevamo tentato di stabilire un legame punto per punto (applicazione involutiva) tra i punti del vicinato terrestre (a scala cosmologica) e i punti coniugati dell'altro universo (che chiamiamo universo gemello: twin universe, o universo-ombra: shadow universe, o universo-fantasma: ghost universe, denominazioni che per noi sono equivalenti), utilizzando una relazione di antipodalità, che implicava un'ipotesi iniziale sulla topologia dell'oggetto geometrico. In seguito ci siamo resi conto che ciò non era necessario, poiché si poteva definire la struttura locale (F, F*) come rivestimento a due fogli di una "varietà scheletro". La struttura diventa allora quella del rivestimento a due fogli di un proiettivo P3, equivalente a tre dimensioni del proiettivo P2, a due dimensioni, più noto, quindi la rappresentazione più nota è la superficie scoperta nel 1902 dall'austriaco Werner Boy, vedi figura 184 (in teoria un'animazione, quando il sito sarà completo).
...Boy era allievo del grande matematico Hilbert, il quale si dichiarò molto soddisfatto dell'invenzione del suo allievo. Per la cronaca, dopo la sua invenzione, Boy lasciò l'università e non se ne sentì più parlare. Tutte le ricerche condotte dagli storici per rintracciarne le tracce si rivelarono infruttuose. Non si sa se sia morto di un brutto raffreddore o se abbia trascorso gli ultimi anni come idraulico.
...I geometri sanno che si può far coincidere tutti i punti di una sfera S2 secondo un proiettivo P2, come accennato nella figura 10 dell'articolo seguente. Il polo nord viene così portato in coincidenza con il polo sud e l'equatore si avvolge su se stesso secondo il pseudo-equatore della superficie di Boy, anch'esso indicato. Questo rivestimento a due fogli è indicato nella figura 11 dell'articolo. Si noti, almeno in due dimensioni, che questa operazione mette in coincidenza oggetti enantiomorfi, in specchio. Le figure 12 e 13 sono immagini didattiche che mostrano quindi come i grumi si collocassero nelle lacune della regione antipodale.
...Questo sistema del rivestimento a due fogli può essere esteso a tre e persino quattro dimensioni, con sfere S3 e S4, che rivestono rispettivamente i proiettivi P3 e P4.
Prima di andare oltre, possiamo familiarizzare il lettore con la geometria di questa strana superficie di Boy. Inoltre, si potranno trovare diverse declinazioni dell'oggetto nel Topologicon (Ed. Belin, 1984).
...Ciò che può sorprendere ovviamente il lettore è il fatto che questa superficie si intersechi da sola lungo un insieme di auto-intersezioni che è una curva trifogliata, che ricorda una elica di nave:
...In questo disegno, a sinistra, è stata creata un'apertura per mostrare il punto triplo, dove si intersecano tre fogli. Questa superficie sembra davvero particolare. In realtà questo oggetto è un eccellente esempio che permette di illustrare il concetto di spazio di rappresentazione (3d) menzionato in precedenza.
...Il punto triplo T e la curva di auto-intersezione dipendono solo dal modo di rappresentare il proiettivo P2 in R3. Una sfera, un toro, possono essere immersi in R3, cioè prestarsi a rappresentazioni topologicamente equivalenti in cui la superficie non si interseca da sola. Ma è impossibile immersi il proiettivo P2 in R3. Si può solo immersi. Il disegno qui sopra (la superficie di Boy) è quindi un'immersione del proiettivo in R3. Un'immersione di un oggetto 2D è un modo di rappresentazione in R3 in cui si trova una linea di punti doppi (la curva di auto-intersezione), lungo la quale si trovano due piani tangenti, più un certo numero di punti tripli dove tre fogli si intersecano. La superficie di Boy non è che una tra infinite modalità di immersione del proiettivo P2 in R3. Ne troverete altre in un articolo che sarà incluso nel sito, intitolato "i diversi volti del piano proiettivo".
...È abbastanza facile ottenere immagini della superficie di Boy, attraverso una rappresentazione parametrica che abbiamo inventato e pubblicato
---> Il lettore troverà nel sottosito MATEMATICA, tra l'altro, la riproduzione della nota pubblicata nel 1981 all'Accademia delle Scienze di Parigi, con J. Souriau (no, non è il famoso matematico, ma uno dei suoi figli, Jérôme, diventato in seguito informatico), la cui riferimento è:
"La rappresentazione analitica della superficie di Boy", Note ai Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, tome 293 (5 ottobre 1981) serie 1 pp. 269-272
Vi si mostra che la superficie possiede allora meridiani ellittici. Questa proprietà permette di tracciarla agevolmente. Di seguito, il programma figurante nella pagina di copertina del mio fumetto Topologicon. * *
Programma BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM Ecco le 3 coordinate
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y =Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM Istruzione per visualizzare i punti
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
...Per memoria, fu proprio questa scoperta della possibilità di rappresentare questa superficie mediante meridiani ellittici che permise in seguito al matematico Apéry di ottenere la prima rappresentazione in forma implicita, di sesto grado:
f (x , y ,z) = 0
che non riprodurremo (è infatti abbastanza complessa e siamo convinti che ne esistano di più semplici, ma questo farà oggetto di un altro documento che sarà incluso nel sito MATEMATICA).
...La bottiglia di Klein è più nota ai lettori. È altrettanto impossibile immergerla in R3. Essa si presenta, nella sua forma più classica, come un'immersione dotata di un insieme di intersezioni che è una semplice curva chiusa.
...Il rivestimento a due fogli della superficie di Klein è un toro T2, così come quello della superficie di Boy (proiettivo P2) è una sfera S2. Il lettore interessato alla superficie di Boy potrà trovare una modellina 3D in una delle sale del Palais de la Découverte di Parigi, modellina che avevamo fatto realizzare dal plastico Max Sauze, a partire da un modello più grezzo che avevamo realizzato.
...In queste operazioni di rivestimento a due fogli, i meridiani e i paralleli degli oggetti "si avvolgono su se stessi". Si può ad esempio mostrare cosa accade ai "paralleli" del toro (legati anche al plongement rappresentato):
...In questo plongement del toro le curve parallele non sono ovviamente geodetiche della superficie (tranne il "cerchio del collo"). Situazione analoga per i meridiani del toro, che sono geodetiche del suo plongement standard:
Di seguito, i due sovrapposti:
...Riprenderemo tutte queste questioni in un testo...