cosmologia degli universi gemelli Cosmologia degli universi gemelli (p 5)
5) Riguardo alla costanza di G e di c.
...Consideriamo le due grandezze G (gravitazione) e c (velocità della luce). Esse intervengono nella costante di Einstein c. Quest'ultima è classicamente determinata come segue:
La metrica si esprime come:
(12)
dove gmn(L) è il tensore metrico di Lorentz e e gmn rappresenta una piccola perturbazione indipendente dal tempo (tensore metrico quasi lorentziano). Inoltre, per stabilire un legame stretto con la teoria classica, si suppone che la velocità di una particella lungo una geodetica sia molto inferiore a c, cioè:
(13)
Si applica quindi la stessa approssimazione all'equazione differenziale di una geodetica:
(14)
Si ottiene quindi:
(15)
Oltre alle condizioni di stato stazionario, si è soliti scrivere:
(16) dx° = c dt
che introduce sia la velocità della luce c che il tempo t. Inoltre:
(17)
L'equazione geodetica diventa:
(18)
Se identifichiamo al modello newtoniano, possiamo collegare il potenziale di perturbazione gravitazionale alla metrica attraverso:
(19)
Se consideriamo un mezzo a bassa densità ρ₀ e a bassa velocità, il tensore energia-materia si riduce a:
(20)
la cui traccia è ρ₀. Allora il secondo membro dell'equazione del campo diventa (21)
Sempre nell'ipotesi di stato stazionario, otteniamo:
(22)
Identificando con l'equazione di Poisson, determiniamo la costante sconosciuta c dell'equazione del campo:
(23)
Se c non è considerato come una costante assoluta, la divergenza nulla dell'equazione del campo (1) non è più garantita, secondo l'ipotesi d = 0, che fornisce le equazioni di conservazione della fisica. Ma facciamo notare che la costanza di c non richiede separatamente la costanza di G e di c, poiché abbiamo dedotto (23) da una metrica indipendente dal tempo (12). Possiamo quindi passare alla condizione meno restrittiva:
(24)
...Questa idea, proposta dall'autore nel 1988-89 negli articoli [12,13,14]. Ma, secondo le nostre conoscenze, l'idea di una variazione secolare della velocità della luce era stata introdotta in precedenza da V.S. Troistkii [11].
6) La metrica di Robertson-Walker.
...Supponendo che l'Universo sia isotropo e possa essere descritto da una metrica riemanniana, otteniamo la metrica classica di Robertson:
(25)
Se l'Universo è considerato omogeneo, allora T = A(T) e la soluzione cosmologica spazialmente omogenea deriva da:
(26) S = c ( **T **- A(T)) = 0
Questa metrica deve essere introdotta nell'equazione (1), con un secondo membro nullo. Otteniamo quindi il seguente sistema di due equazioni:
(27)
(28)
Dai (27) e (28) otteniamo:
(29) k = -1 (curvatura negativa) e R = x°
x° è un "marcatore cronologico". Notiamo che esiste una sola soluzione (k = -1). Se identifichiamo classicamente x° a ct, c considerato come una costante assoluta, otteniamo la ben nota soluzione banale R = ct. Procedendo in questo modo, definiamo in modo un po' arbitrario il tempo cosmico t. Ma può essere definito in modo diverso, in modo non standard, come mostrato in seguito.