cosmologia dell'universo gemello materia materia fantasma astrofisica. 2 :
Metriche di stato stazionario coniugate. Soluzioni esatte. (p2)
3) Soluzioni esatte interne accoppiate di tipo Schwarzschild.
Consideriamo il caso in cui il piego F* è vuoto e il piego F contiene un oggetto massivo di massa M, raggio ro, riempito da una densità di massa r costante.
Questo corrisponde al sistema di equazioni:
(12)
S = c T
(13) *S = - **c T
con T* = 0. Nella teoria classica, si deduce la soluzione interna di Schwarzschild, che dà al tensore T la forma:
(14)
La forma della metrica scelta è:
(15)
ds² = en c² dt² - [ el dr² + r² ( dq² + sin²q dj²) ]
Nei secondi membri delle equazioni differenziali, derivate dall'equazione del campo, troviamo termini:
(16)
Il secondo corrisponde alla contribuzione della pressione al campo. Può essere trascurata per pressioni moderate. Nel caso di un gas, corrisponde all'approssimazione << c, dove la prima è la velocità termica. Se il corpo è solido (pianeta), significa che la contribuzione della pressione è debole, il che non può essere affermato se l'oggetto è una stella di neutroni. Nella seguente considereremo l'ipotesi fisica giustificata:
(17)
Allora l'equazione differenziale può essere scritta nella forma più semplice:
(18)
(19)
(20)
c è la costante di Einstein:
(21)
Sommiamo prima (18) e (19) e otteniamo:
(22)
Poiché c è negativo, ciò implica che l' + n' è positivo o nullo. Dal sistema (18) + (19) + (20) otteniamo:
(23)
(24)
(25)
Scriviamo:
(26)
Combinando con (23):
(27)
m(r) è una lunghezza, simile alla lunghezza di Schwarzschild. Riconosciamo nuovamente lo status di M(r) come massa geometrica.
(24) può essere risolto. Scriviamo:
(28)
o:
(29)
Introduciamo:
(30)
otteniamo:
(31)
A è una costante. La metrica interna diventa allora:
(32)
Quando r = ro, la metrica esterna diventa:
(33)
o:
(34)
o:
(35)
La connessione con la metrica esterna è garantita se:
(36)
La nostra soluzione interna (p » 0) diventa:
(37)
Notiamo che effettuiamo sviluppi in serie, in base a:
(38)
la nostra metrica interna e quella classica con pressione non nulla [7]:
(39)
coincidono asintoticamente.