cosmologia dell'universo gemello materia materia fantasma astrofisica. 2: Metriche di stato stazionario coniugate. Soluzioni esatte. (p3)
Consideriamo ora la soluzione interna associata, per la metrica g*. Essa corrisponde all'equazione del campo:
(40) S* = - c T
Scegliamo la forma della metrica:
(41)
ds2 = en c2 dt2 - [ el* dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2) ]
Il sistema di equazioni differenziali diventa:
(42)
(43)
(44)
Notare i segni meno nei membri di destra.
Sommiamo prima (42) e (43) e otteniamo:
(45)
Poiché c è negativo, ciò implica che l*' + n*' è negativo o nullo. Dal sistema (42) + (43) + (44) otteniamo:
(46)
(47)
(48)
Scriviamo:
(49)
Combinando con (46):
(50)
Identico a (27).
L'equazione (47) può essere risolta:
(51)
o:
(52)
Introduciamo:
(53)
otteniamo:
(54)
B essendo una costante. La metrica interna g* diventa allora:
(55)
La connessione con la soluzione esterna corrispondente è garantita se:
(56)
e la nostra metrica interna g* diventa:
(57)
