cosmologia a universi gemelli Materia, materia fantasma, astrofisica. 2: Metriche coniugate a stato stazionario. Soluzioni esatte. (p4)
3) Curvatures scalari coniugate.
Dalla sistema di equazioni del campo generale (1) + (2), otteniamo:
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R* = - R
In due punti coniugati M e M*, appartenenti rispettivamente ai pieghe F e F*, le curvature scalari R e R* sono opposte. Chiameremo geometrie coniugate quelle che verificano questa proprietà. Possiamo provare a illustrare questo concetto con un'immagine didattica. Considerate la figura 1: in alto, un "posicone" liscio; in basso, un "negacone" liscio, posti di fronte. Un posicone liscio è costruito a partire da un cono tronco, collegato lungo un cerchio a una porzione di sfera (superficie con densità di curvatura angolare costante).
Fig. 1: Immagine didattica delle geometrie coniugate (R = –R). La massa M si trova nella piega F. La piega F è vuota.
Illustrato: una coppia di punti coniugati (M, M*).
La sella di cavallo costituisce l'equivalente, per una curvatura negativa, di una porzione di sfera (superficie con densità di curvatura angolare costante). Una sfera contiene una curvatura totale uguale a 4π. Una porzione di sfera contiene una quantità di curvatura angolare q data da:
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Un cono è una superficie che contiene un punto di curvatura angolare concentrata S, corrispondente a una curvatura angolare positiva q > 0. Lo costruiamo conformemente alla figura 2.
Fig. 2: Costruzione di un "posicone".
Definizione della curvatura angolare contenuta nel vertice del cono: Se si disegna un triangolo formato da tre geodetiche, si presentano due casi. Se non contiene il vertice, la somma degli angoli è la somma euclidea π. Se contiene il vertice, questa somma è π più la curvatura puntiforme corrispondente q. Vedere la figura 3.
Fig. 3: Curvatura angolare puntiforme positiva
situata nel vertice di un (posi)cono.
Allo stesso modo, possiamo costruire un "negacono", come segue:
Fig. 4: Costruzione di un "negacono" dotato di curvatura angolare puntiforme negativa, situata in S.
Possiamo assemblare un insieme di piccoli posiconi, corrispondenti a curvature elementari dq i, e incollarli tra loro. Vedere la figura 5.
Fig. 5: Insieme di posiconi elementari.
La curvatura angolare è una quantità additiva. Se il numero di elementi tende all'infinito e i dq i tendono a zero, l'oggetto globale tende a una superficie regolare limitata. Su qualsiasi porzione di questa superficie, possiamo misurare la curvatura angolare (la somma degli angoli dq i). Possiamo anche definire una densità locale di curvatura angolare come segue:
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Così, questo insieme di posiconi elementari assemblati tende a una superficie regolare dotata di piano tangente. Se C(M) è costante e positivo su una superficie, questa è una sfera o una porzione di sfera. L'integrale della densità di curvatura angolare sulla superficie della sfera dà la sua curvatura totale uguale a 4π. Se C(M) è nullo, la superficie è localmente piana (piano, parete di un cono, cilindro, ad esempio).