cosmologia dell'universo gemello materia materia fantasma astrofisica. 2 : Metriche di stato stazionario coniugate. Soluzioni esatte. (p5)
Questa operazione può essere estesa ai negaconi uniti (densità di curvatura angolare negativa). Per una superficie euclidea, C(M) = 0 ovunque. Utilizzando negaconi elementari e piccole porzioni di un piano, è possibile costruire qualsiasi superficie regolare, dove la densità di curvatura angolare C(M), positiva, negativa o nulla, è una funzione continua del punto M. Possiamo ora costruire un posicone troncato e unirlo a una porzione di sfera. La continuità del piano tangente è garantita se le curvature angolari q sono uguali. Vedere la figura 6.
Fig .6 : Costruzione di un "posicone liscio".
Una superficie con curvatura angolare negativa costante è detta sella di cavallo. Vedere la figura 7. Su una tale superficie è possibile tracciare una curva centrata su un punto P.
Fig .7 : Costruzione di un "negacono liscio".
Possiamo posizionare un posicone liscio e un negacono liscio di fronte, come indicato nella figura 1. I punti coniugati M e M* hanno densità di curvatura opposte:
(61)
C(M*) = - C(M)
Sulle parti euclidee delle due superfici coniugate, queste curvature sono nulle:
(62)
C(M*) = C(M) = 0
Ottieniamo un esempio di geometrie coniugate in 2d. Ovviamente, come nei nostri piegamenti in 4d, l'immagine di una geodetica di un piegamento non è definitivamente una geodetica dell'altro. Vedere le figure 8 e 9.
Fig. 8 : L'immagine (composta da punti coniugati) di una geodetica del posicone liscio F non è una geodetica del negacono liscio F.*
** ** Fig. 9 : L'immagine (composta da punti coniugati) di una geodetica del negacono liscio F non è una geodetica del negacono liscio F.* ** **
Si tratta semplicemente di un'immagine didattica, ma illustra il concetto fondamentale delle geometrie coniugate. Nella relatività generale, trattiamo delle ipersuperfici in 4d, le cui metriche possiedono geometrie iperboliche, con segnatura (+ - - -).
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Versione originale (inglese)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p5)
This operation can be extended to joined negacones (negative angular curvature density). For an eucliean surface C(M) = 0 everywhere. Using elementary negacones and small portions of a plane one can build any regular surface, where the angular curvature density C(M), positive, negative or zero, is a continuous function of the point M. We can now build a truncated posicone and join it to a portion of sphere. The continuity of the tangent plane is ensured if the angular curvatures q are equal. See figure 6.
Fig .6 : Building a smoothed "posicone".
A surface with constant negative angular curvature is called a horse saddle. See figure 7. On such a surface one can draw a curve centered on a point P.
Fig .7 : Building a "smoothed negacone".
We can put a smoothed posicone and a smoothed negacone face to face, as shown on figure 1. Conjugated points M and M* have opposite curvature densities :
(61)
C(M*) = - C(M)
On the euclidean portions of the two conjugated surfaces these curvatures are zero :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
We get an example of 2d conjugated geometries. Obviously, like in our 4d folds, the image of of a geodesic of a fold is definitively not a geodesic of the other one. See figures 8 and 9.
Fig. 8 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed posicone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.*
** ** Fig. 9 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed negacone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.* ** **
This is just a didactic image, but it illustrates the basic concept of conjugated geometries. In general relativity we deal with 4d hypersurfaces, whose metrics owns hyperbolic geometries, with signatures (+ - - -).
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