universo gemello di astrofisica e cosmologia Materia fantasma materia astrofisica.6. Struttura a spirale.(p3)
- Come definire le condizioni iniziali per una simulazione numerica in 2D.
Costruzione di una soluzione 2D del tipo Eddington per la coppia di equazioni di Poisson + Vlasov.
Le soluzioni non uniformi (ellittiche) dell'equazione di Vlasov sono state ampiamente studiate da molto tempo in 3D. Nel seguito, consideriamo movimenti e posizioni in 2D, in modo che sia necessario costruire la soluzione ellittica autocoerente in 2D dell'equazione di Vlasov.
Scriviamo l'equazione di Vlasov:
(1)
dove:
(2)
f (x , y , u , v , t ) è la funzione di distribuzione della velocità. L'equazione (1) è scritta in notazione tensoriale dyadica, in termini di velocità particolare (residua o termica) C = ( u , v ).
<V> è la velocità macroscopica. m è la massa di una particella.
**** è il vettore posizione ( x , y ).
..
Le lettere in grassetto rappresentano i vettori. L'ultimo termine dell'equazione (2) rappresenta il prodotto scalare di due tensori dyadici (vedere riferimento [20]). Introduciamo ora una soluzione 2D ellittica del tipo Eddington:
(3)
dove C è la velocità residua, la velocità termica. In condizioni di stato stazionario, l'equazione di Vlasov diventa:
(4)
Combinando con la soluzione di Vlasov, otteniamo:
(5)
Si tratta di un polinomio di terzo ordine rispetto alle componenti u e v della velocità termica C. Una soluzione emerge:
(6)
Allora:
(7)
Dai termini di terzo ordine, otteniamo:
(8)
Dai termini di secondo ordine (9)
Combinando, otteniamo il seguente sistema:
(10)
Sia:
(11)
Allora:
(12)
La funzione di distribuzione diventa:
(13)
dove C è la componente radiale della velocità termica C e Cp la sua componente azimutale. Otteniamo quindi:
(14)
Nella soluzione classica (tridimensionale) di Eddington, avevamo un ellissoide delle velocità, il cui asse maggiore puntava verso il centro del sistema. Vedere la figura 6.
Fig. 6 :Ellissoide delle velocità corrispondente a una soluzione di tipo Eddington.
Nella presente soluzione ellittica 2D del tipo Eddington, otteniamo un'ellisse delle velocità, il cui asse maggiore è costante e punta verso il centro del sistema. Al centro, l'ellisse delle velocità diventa un cerchio (distribuzione di Maxwell-Boltzmann in 2D della velocità). Come mostreremo in seguito, il suo asse maggiore < Cv > (velocità termica radiale media) è costante rispetto alla distanza radiale v. Il suo asse trasverso
(velocità termica azimutale media) tende a zero all'infinito. Vedere la figura 7.
Fig. 7 :L'evoluzione dell'ellisse delle velocità, nella soluzione 2D del tipo Eddington, in funzione della distanza dal centro del sistema.****