Prologo.
...La fisica è come una torta:
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- Primo piano: osservazioni, esperimenti.
- Secondo piano: equazioni differenziali.
- Terzo piano: geometria
- Quarto piano: teoria dei gruppi.
I gruppi governano la geometria, che genera belle equazioni differenziali.
Con le equazioni differenziali costruiamo cose, che poi vengono usate per spiegare o predire ciò che chiamiamo fatti fisici.
...Storicamente gli uomini cominciarono a studiare e a codificare fatti, osservazioni, eseguendo misurazioni. Poi immaginarono leggi di conservazione e "leggi fisiche". All'inizio del secolo cominciarono a pensare che le leggi fisiche potessero avere qualcosa a che fare con la geometria.
Nello stesso periodo, Felix Klein chiese:
Che cos'è una geometria?
Si noti che disse "una geometria" e non "geometria" (programma di Erlangen)
...Klein, Lie, Cartan e altri mostrarono che qualcosa si nascondeva sotto l'apparenza geometrica. La geometria non era l'ultimo piano, il nec plus ultra della conoscenza in fisica. Da una struttura di gruppo si può costruire una geometria.
Nel seguito cercheremo di mostrare il legame tra gruppi, geometria e fisica.
A proposito, al di sopra dei gruppi, cosa?
...Tenderei a dire: la logica. Ma la logica è un appartamento il cui ultimo occupante fu Kurt Gödel, un pericoloso piromane. Con il suo ben noto teorema diede fuoco ai mobili, che furono completamente distrutti. Da questa tragedia, la stanza è disoccupata.
...Ecco perché vi ho messo un punto interrogativo.
Gruppi.
...Che cos'è un gruppo? Nel seguito limitiamo l'indagine ai gruppi dinamici della fisica: un insieme di matrici quadrate (n,n) che obbediscono ad assiomi definiti. Queste matrici g, elementi di un gruppo G, agiscono ciascuna su un'altra attraverso la classica moltiplicazione matriciale (riga-colonna). Tra queste matrici quadrate troviamo le matrici identità.
(1-bis)
...Un gruppo obbedisce agli assiomi definiti dal matematico norvegese Sophus Lie. Questi assiomi si applicano a oggetti molto più generali degli insiemi di matrici. Ma limiteremo il nostro sguardo a questo mondo peculiare e useremo la moltiplicazione matriciale:
x
1 - Primo assioma della teoria dei gruppi:
Il prodotto di due elementi g1 e g2 di un gruppo G:
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g3 = g1 x g2
obbedisce a:
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Diamo un esempio di un gruppo di matrici, che dipende da un singolo parametro a. L'elemento è:
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Il prodotto di due elementi dà:
(5)
oppure:
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g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = g ( g )
Possiamo scrivere il prodotto matriciale:
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che è simile a g1 e g2, cioè:
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Esempio contrario: si consideri il seguente insieme di matrici che dipendono da un singolo parametro a
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Il prodotto di due elementi dà:
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che è fondamentalmente diverso da (5).
2 - Secondo assioma della teoria dei gruppi:
Nell'insieme degli elementi dobbiamo trovare un elemento peculiare, chiamato elemento neutro e, che, combinato con qualsiasi altro elemento, obbedisce a:
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g x e = ex g = g
Nei gruppi i cui elementi sono matrici quadrate questo elemento neutro e è sempre la matrice identità 1.
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g x 1 = 1 x g = g
Si noti che usiamo caratteri chiari per descrivere gli scalari e caratteri in grassetto per altri oggetti: matrici quadrate o di riga o di colonna.
Torniamo al primo esempio di gruppo:
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Si osservi che:
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