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Prologo.
...La fisica è come una torta:
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- Primo piano: osservazioni, esperimenti.
- Secondo piano: equazioni differenziali.
- Terzo piano: geometria - Quarto piano: teoria dei gruppi.
I gruppi regolano la geometria, che genera belle equazioni differenziali.
Con le equazioni differenziali costruiamo cose, che poi vengono utilizzate per spiegare o prevedere ciò che chiamiamo fatti fisici.
...Storicamente gli uomini hanno iniziato a studiare e a codificare fatti, osservazioni, effettuando misurazioni. Poi hanno immaginato leggi di conservazione e "leggi fisiche". All'inizio del secolo hanno cominciato a pensare che le leggi fisiche potessero avere qualcosa a che fare con la geometria.
Nello stesso periodo Felix Klein chiese: Che cos'è una geometria?
Notate che disse "una geometria" e non "la geometria" (programma di Erlangen).
...Klein, Lie, Cartan e altri mostrarono che c'era qualcosa di nascosto dietro l'apparenza geometrica. La geometria non era l'ultimo piano, il nec plus ultra della conoscenza in fisica. A partire da una struttura di gruppo si può costruire una geometria.
Nel seguito cercheremo di mostrare il legame tra gruppi, geometria e fisica.
A proposito dei gruppi, cosa?
...Tenderei a dire: la logica. Ma la logica è un appartamento il cui ultimo inquilino fu Kurt Gödel, un incendiario pericoloso. Con il suo ben noto teorema ha dato fuoco ai mobili, che sono stati completamente distrutti. Da quella tragedia in poi, la stanza è vuota.
...Per questo ho messo un punto interrogativo lì.
Gruppi.
...Che cos'è un gruppo? Nel seguito restringiamo lo studio ai gruppi dinamici della fisica: un insieme di matrici quadrate (n,n) che obbediscono ad assiomi definiti. Queste matrici g, elementi di un gruppo G, agiscono l'una sull'altra tramite moltiplicazione matriciale classica (riga-colonna). Tra queste matrici quadrate troviamo le matrici unità.
(1-bis)
...Un gruppo obbedisce agli assiomi definiti dal matematico norvegese Sophus Lie. Questi assiomi si applicano a oggetti molto più generali degli insiemi di matrici. Ma restringeremo la nostra attenzione a questo mondo particolare e utilizzeremo la moltiplicazione matriciale:
x
1 - Primo assioma della teoria dei gruppi:
Il prodotto di due elementi g1 e g2 di un gruppo G:
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g3 = g1 x g2
obbedisce a:
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Diamo un esempio di gruppo di matrici, dipendente da un solo parametro a. L'elemento è:
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Il prodotto di due elementi dà:
(5)
oppure:
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g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Possiamo scrivere il prodotto matriciale:
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che è simile a g1 e g2, cioè:
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Esempio contrario: consideriamo l'insieme seguente di matrici dipendenti da un solo parametro a
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Il prodotto di due elementi dà:
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che è fondamentalmente diverso da (5).
2 - Secondo assioma della teoria dei gruppi:
Nell'insieme degli elementi dobbiamo trovare uno particolare, chiamato elemento neutro e, che, combinato con qualsiasi altro elemento, obbedisce a:
(11) g x **e = e **x **g **= g
Nei gruppi i cui elementi sono matrici quadrate, questo elemento neutro e è sempre la matrice unità 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Notate che usiamo caratteri romani per gli scalari e in grassetto per gli altri oggetti: matrici quadrate, righe o colonne.
Ricordiamoci dell'esempio iniziale di gruppo:
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Osserviamo che:
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