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3 - Terzo assioma della teoria dei gruppi:
Ogni elemento del gruppo deve possedere il suo inverso, indicato con g⁻¹, definito da:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Nel nostro esempio:
(16)
cioè: b = -a oppure:
(17) g⁻¹(a) = g(-a)
In questo caso, il calcolo della matrice inversa è banale.
Qual è la condizione affinché una matrice quadrata data possieda il suo inverso?
...A ogni matrice quadrata si può associare uno scalare chiamato determinante. Per la definizione, vedere un testo dedicato al calcolo lineare. Tale determinante viene indicato con: det(g)
Inoltre, abbiamo un teorema generale:
det(g₁ × g₂) = det(g₁) × det(g₂)
Il determinante di una matrice diagonale è:
(18)
Di conseguenza: det(1) = 1
poiché 1 è una matrice diagonale.
Dalla definizione dell'inverso di una matrice:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Allora:
(19)
det(g × g⁻¹) = det(g) × det(g⁻¹) = 1
...Se det(g) = 0, la condizione (19) non può essere soddisfatta. L'insieme di matrici i cui elementi particolari hanno determinante nullo non soddisfa il terzo assioma e non può formare un gruppo.
Inoltre:
(20)
4 - Quarto assioma della teoria dei gruppi:
La moltiplicazione deve essere associativa, cioè:
(21)
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
La moltiplicazione matriciale è fondamentalmente associativa.
Dimensione di un gruppo:
...Come vedremo, un gruppo può agire su uno spazio i cui punti sono descritti da vettori colonna. Ad esempio, i punti dello spazio-tempo (chiamati "eventi"):
(22)
...Questo è uno spazio a quattro dimensioni. Diversi gruppi possono agire su di esso. Ma la dimensione di un gruppo non ha nulla a che vedere con la dimensione dello spazio su cui agisce.
La dimensione di un gruppo (di matrici) è il numero di parametri che definiscono queste matrici quadrate.
Abbiamo dato un esempio di matrici definite da un solo parametro
a
Pertanto, la dimensione di questo gruppo è uno.
Osservate che:
(22-bis)
Osservazione:
Non tutti i gruppi di matrici sono commutativi, anche se il gruppo che abbiamo studiato possiede questa proprietà:
(23)
Se un tale gruppo agisce su un vettore colonna corrispondente a uno spazio a due dimensioni:
(23 bis)
questo corrisponde a una rotazione intorno a un punto fisso, in un piano:
(23 ter)
Questa operazione è ovviamente commutativa.
Tendi a dire: "come tutti i gruppi di rotazioni".
...Ti sbagli. Considera le rotazioni intorno a assi che passano per un punto dato O. Componi due rotazioni successive intorno a assi diversi. Questo non è commutativo. Esercizio: dimostralo utilizzando un sistema di assi ortogonali (OX, OY, OZ), mostrando che le rotazioni combinate intorno a questi assi non formano un'operazione commutativa. Prendi un oggetto qualsiasi.
- Fai una rotazione di +90° intorno a OX, poi una rotazione di +90° intorno a OZ
- Torna alle condizioni iniziali e:
- Fai una rotazione di +90° intorno a OZ, poi una rotazione di +90° intorno a OX
Confronta i risultati.
Azione di un gruppo.
...Un gruppo G è composto da matrici quadrate g. Esse possono essere moltiplicate. Diremo che un gruppo può agire su se stesso.
Il gruppo può anche agire su uno spazio costituito da punti descritti da vettori colonna. Esempio:
(24)
Se indichiamo:
(25)
l'azione del gruppo su questo spazio diventa:
(26) g × r
...In questo caso particolare, l'azione sullo spazio si riduce alla semplice moltiplicazione matriciale. Ma il concetto di azione è molto più generale.