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Una parentesi: orientamento spazio-tempo.
** ...**Nel mondo a 2D avevamo assimilato gli oggetti geometrici a lettere. Nel mondo a 3D erano stati assimilati a "mano destra" e "mano sinistra".
Le strutture a quattro dimensioni erano state assimilate a ologrammi animati.
**...**Che cosa potrebbe essere una struttura a cinque dimensioni, o a dieci dimensioni? A volte invidio Dio, non è vero?
**...**Deve ridere guardando le nostre misere strutture a quattro dimensioni.
**...**Ma un fisico teorico, e persino un matematico, non è altro che una struttura a quattro dimensioni orientata. Se non fossero orientati in questo modo, non potrebbero distinguere il passato dal futuro, né destra da sinistra.
**...**L'universo nel suo complesso è una struttura a quattro dimensioni. Immaginiamolo come un oggetto chiuso, con topologia localmente sferica. Chiamiamo t il tempo. A un certo istante possiamo effettuare un taglio, che è un'iper-superficie a 3D. Se questa è un'ipersfera S3, il tempo ha un senso. Il vettore tempo attraversa questa iper-superficie e non abbiamo situazioni paradossali.
**...**Riduciamo il numero di dimensioni. Immaginiamo un mondo a due dimensioni chiuso, una sorta di spazio-tempo (x,y,t).
**...**Possiamo tagliarlo a t = costante, ottenendo così un oggetto geometrico la cui dimensione è 3 - 1 = 2: una superficie a 2D. In ogni punto, il vettore normale orientato rappresenta la freccia del tempo.
Se questo spazio-tempo può essere orientato nel tempo (supponiamo che sia chiuso), allora lo spazio è una sfera S2:
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**...**Ma supponiamo che la superficie che rappresenta lo spazio abbia una sola faccia. Prendiamo ad esempio una superficie di Boy (che è una superficie chiusa a una sola faccia. Vedi la sezione "Matematica" del sito).
(153)
Puoi costruirne una incollando insieme nastri di Möbius. Te ne mostro una:
(154)
Sai che non è possibile definire un vettore normale orientato:
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**...**Il rivestimento a due fogli di una superficie di Boy è una sfera S2. Se assimiliamo il nostro spazio-tempo a tre dimensioni a un insieme di sfere S2, disposte come bambole russe, ognuna corrispondente a un valore dato di un tempo cosmico t, possiamo immaginare (con difficoltà) un certo tipo di spazio-tempo in cui punti antipodali potrebbero essere identificati. Era questa la struttura topologica suggerita nell'articolo:
Jean-Pierre Petit: "Il problema della massa mancante". Il nuovo Cimento B, vol. 109, luglio 1994, pp. 697-710.
**...**In seguito sappiamo che punti antipodali situati su un "equatore" di una sfera possono essere disposti come il rivestimento a due fogli di un nastro di Möbius:
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Così vediamo come le regioni spaziali antipodali siano coniugate a frecce del tempo opposte.
(157)
**...**Nel passaggio, vediamo anche come ciò coniugherebbe oggetti enantiomorfi.
**...**Lo spazio è un'iper-superficie a quattro dimensioni. Se possiamo definire un tempo cosmico t, possiamo effettuare tagli a t = costante e questi tagli sono spazi a 3D. Se lo spazio è chiuso, potremmo assimilarlo a una sfera S3, che può essere modellata come il rivestimento a due fogli di uno spazio proiettivo P3 (l'equivalente della superficie di Boy in 3D). Questa operazione metterebbe in interazione regioni con frecce del tempo opposte.
Index Teoria dei gruppi dinamici
Versione originale (inglese)
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A parenthesis : Space-time orientation.
** ...**In 2d's world we assimilated geometrical objects to letters. In 3d's world they were assimilated to "right hand" and "left hand".
Four-dimensional structures were assimilated to animated holograms.
**...**What the hell could be a five-dimensional structure, or a ten dimensional one ? Sometimes I envy God, don't you?
**...**He must laugh, looking at our miserable four dimensional structures.
**...**But a theoretical physicist, and even a mathematician, are nothing but oriented four dimensional structures. If they were not, they could not distinguish past from future, and the right from the left.
**...**The universe, as a whole, is a four dimensional structure. Let us think about it as a closed object, with locally spherical topology. Call t the time. At a given time we can make a cut, which is a 3d hypersurface.If this last is a hypersphere S3, time makes sens. The vector time crosses this hypersurface and we get no paradoxical situation.
**...**Let us reduce the number of dimensions. Imagine a closed two dimensional world, some sort of space time (x,y,t).
**...**We can cut it at t = constant, then we get a geometrical object whose dimension is 3 - 1 = 2 : a 2d surface. At any point the oriented normal vector figures the arrow of time.
If this space-time can be oriented in time ( we suppose it is closed ) at given time, space is a S2 sphere :
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**...**But suppose the surface representing space is single-sided. Take a Boy surface, for an example ( which is a closed single-sided surface. See the section "Mathematics" of the site ).
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You can build a one just gluying Mbius strips together. I show a one :
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You know that you cannot define an oriented normal vector :
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**...**The two folds cover of a Boy's surface is a sphere S2. If we assimilate our three dimensional space-time to a sets of spheres S2, arranged like russian dolls, each corresponding to a given value of a cosmic time t, we can think (hardly ) to some sort of space-time where antipodal points could be put together. That was the topological structure suggested in the paper :
Jean-Pierre Petit : "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, july 1994, pp. 697-710.
**...**Then we know that antipodal points, located on an "equator" of a sphere can be arranged as the two-folds cover of a Mbius strip :
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We see how this conjugates space-antipodal regions with opposite time's arrows.
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**...**By the way, we see how it would conjugate enantiomorphic objects.
**...**Space is a four dimensional hypersurface. If we can define a cosmic time t, we can make cuts at t = constant and these cuts are 3d spaces. If space is closed, we could assimilate it to a S3 sphere, which can be shaped as the two folds cover of a projective space P3 ( the equivalent of a Boy's surface, in 3d ). This operation would put opposite time's arrow regions into interaction.