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**I gruppi di Galilei **( orientati nello spazio-tempo e gruppo completo).
Possiamo suggerire diversi nomi per questo gruppo.
GGSOTO ( Galilei orientato nello spazio e orientato nel tempo )
oppure: GSG ( Gruppo di Galilei speciale ).
Oppure semplicemente: SG(3,1): Gruppo di Galilei speciale.
3 dimensioni dello spazio, 1 per il tempo. Ricordiamo che avevamo espresso l'azione del gruppo PT come segue:
(158)
Successivamente ci siamo spostati verso un gruppo orientato nello spazio e nel tempo. Potremmo scrivere in modo simile l'azione di un tale gruppo:
(159)
Si tratta di un sottogruppo di un gruppo più raffinato:
(160)
Il "gruppo di Galilei orientato nello spazio e nel tempo". Con:
(161)
L'azione corrispondente è la seguente:
(162)
Si tratta di un gruppo a una componente (connessa). È un sottogruppo del gruppo completo di Galilei, a quattro componenti:
(163)
che regola le simmetrie P, T e PT:
(164)
e solleva anche la questione degli oggetti anticronici (come faremo in seguito, ma su basi relativistiche).
Movimenti.
Gli oggetti geometrici 4D sono "ologrammi animati". Nella struttura 4D possiamo effettuare tagli a istanti successivi. Ogni taglio costituisce un oggetto 3D, formato da punti (xi, yi, zi). È più semplice considerare un oggetto puntiforme che si muove nello spazio-tempo. La struttura spazio-tempo considerata diventa allora una traiettoria, un movimento.
...Decidiamo di assimilare le particelle della fisica a movimenti di punti. Saranno o "punti-massa", oppure energie puntiformi (fotoni, neutrini).
...Possiamo considerare tutti i movimenti possibili di tutte le particelle possibili e includerli in uno
(165)
spazio dei movimenti.
...Nello spazio-tempo possiamo determinare tutte le traiettorie possibili di fotoni, protoni, neutroni, neutrini, antiprotoni, ecc. Consideriamo un numero infinito di posizioni, velocità e altri parametri possibili, da scoprire in seguito. Tra questa infinità di traiettorie vi sono quelle relative a una particella data: un elettrone, ad esempio. Altre traiettorie si riferiscono al fotone. Sono diverse. Formano due famiglie distinte, due
specie distinte di movimenti.
Cerchiamo come classificare le particelle. Poi cerchiamo come definire le specie di movimenti.
Useremo un metodo simile a quello di Euclide. La domanda centrale è la seguente:
Quali "oggetti" appartengono alla stessa specie?
...Risposta: quelli che possono essere sovrapposti l'uno all'altro grazie all'azione di elementi appartenenti a un gruppo che costituisce un sottogruppo chiamato la regolarità di tali oggetti.
...Nel mondo di Euclide non puoi trasformare una sfera in un cubo, né viceversa. Appartengono a specie distinte. Non esiste alcun sottogruppo che permetta di trasformare sfere in cubi, e viceversa.
...Allo stesso modo, in un gruppo da definire, non esiste alcun elemento appartenente a un particolare sottogruppo che permetta di trasformare il movimento di un fotone in quello di un elettrone. Sono fondamentalmente diversi; appartengono a specie distinte.
Se esiste un elemento del gruppo la cui azione trasforma un movimento in un altro movimento, allora questi movimenti appartengono alla stessa specie. Sono due movimenti distinti della stessa particella.
...Non affronteremo i sistemi a più particelle, come gli atomi o le molecole. Ci concentreremo sull'analisi delle particelle libere, in movimento nello spazio vuoto. Durante questo spostamento, un certo numero di parametri rimane costante (massa, energia, altri...).
Ma l'esame semplice della traiettoria spazio-tempo di una particella non è sufficiente per identificarla né per inserirla in una specie definita.
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Un protone e un neutrone possono seguire la stessa traiettoria alla stessa velocità.
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Due particelle possono seguire la stessa traiettoria alla velocità v = c, ma una può essere un fotone e l'altra un neutrino.
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Come vedremo in seguito, due fotoni che seguono la stessa traiettoria, nella stessa direzione, alla velocità della luce, possono essere diversi. Sono P-simmetrici.
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Uno ha un' elasticità destra.
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L'altro un' elasticità sinistra.
Ciò corrisponde alla polarizzazione della luce. Appartengono a specie distinte? Dipende dal gruppo scelto.
Una specie è relativa a un gruppo dato.
Il momento.
...Un movimento è una scelta particolare, un punto nello spazio dei momenti. Consideriamo i movimenti di specie che differiscono solo per la massa. Prendiamo due specie. Una particella di massa ma non può essere convertita in una particella di massa mb. Anche se le loro traiettorie possono essere identiche nello spazio-tempo, le consideriamo movimenti diversi appartenenti a due specie distinte, oppure:
due specie distinte di movimenti. (166)
Il momento è un insieme di parametri: J = { J1, J2, J3, ........, Jn } Uno di essi è l'energia: J1 = E.
Tre altri: (J2 = px, J3 = py, J4 = pz)
formano il vettore impulso p, tutte quantità familiari ai fisici.
...Queste quantità possono apparire come puri quantitativi geometrici, direttamente legati al gruppo scelto. Vedrete in seguito che il numero di quantità che formano il momento è uguale alla dimensione del gruppo.
...Allora, quali sono le regole del gioco a cui andremo a giocare?
Versione originale (inglese)
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**The Galileo groups **( space-time oriented and complete group ).
We can suggest different names for this group.
GGSOTO ( Galileo space oriented and time oriented )
or : GSG ( Special Galileo group ).
Or, simply : SG(3,1) : Special Galileo group.
3 dimensions of space, 1 for time. Remember we wrote the action of the PT group as follows :
(158)
Then we shifted to some space and time oriented group. We could similarly write the action of such a group :
(159)
This is a sub-group of a more refined one :
(160)
The "space and time oriented Galileo's group". With :
(161)
The corresponding action is :
(162)
This is a one component ( connex ) group. It is a sub-group ofthe complete, four components Galileo group :
(163)
which rules P, T and PT symmetries :
(164)
and arises the problem of antichron objects too ( as it will be done further, but on relativistic grounds ).
Movements.
4d-geometrical objects are "animated holograms". In the 4d structure we can make cuts, at successive times. Each cut is a 3d object, made of (xi,yi,zi)
points. It is simpler if we consider a point-like object moving in space-time. Then the considered space-time structure becomes a paths, a movement.
...We decide to assimilate the particles of physics to movements of points. Either they will be some "mass-points", or punctual energy (photons, neutrinos).
...We can consider all the possible movements of all the possible particles and include them in a
(165)
space of movements.
...In space time we can find all possible paths of photons, proton, neutrons, neutrinos, anti-proton, an son on. We consider an infinite number of possible positions, velocities, and other parameters, to be discovered. Among this infinity of paths are the paths refering to a given particle : an electron, for example. Other paths refers to photon. They are different. They form two distinct families, two
distinct species of movements.
We search how to classify particles. Then we search how to define movements' species.
We will use a method similar to Euclid's. The central question is :
What "objects" belong to the same species ?
...Answer : those that can be put one on the other through the action of elements of a group which belong to some sub-group called the regularity of such objects.
...In Euclid's world you cannot transform a sphere into a cube, and vice-versa. They belong to distinct species. There is no sub-group which makes possble to transform spheres into cubes, and vice-versa.
...Similarly, in some group, to be defined, there is no element, belonging to some sub-group, which makes possible to transform the movement of a photon into the movement of an electron. They are basically different, they belong to distinct species.
If there is an element of the group whose action transforms a movement into another movement, then these movements refer to a same species. They are two different ovements of a same particle.
...We are not going to deal with many-particles systems, like atoms, molecules. We will focuss on free particle analysis, cruising in an empty space. Then, during this cruise, a certain number of parameters are conserved (mass, energy, others...)
But the simple examination of the space-time path of a particle is not enough to identify it and put it into a defined species.
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A proton and a neutron can cruise along the same path, at same velocity.
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Two particles can follow the same path, at v = c but one can be a photon and the other a neutrino.
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As we will see later, two photons following the same path, in the same direction, at the velocity of light, can be different. The are P-symmetrical.
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One owns a right helicity .
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The other a left helicity .
This correspond to polarization of light. Do they belong to distinct species ? Depend the group we choose.
A species is relative to a given group.
The momentum.
...A movement is a peculiar choice, a point in the **momentum space **. Consider movements of species whose only difference is mass. We take two species. A particle whose mass is ma cannot be converted into a particle whose mas is mb . Even if their trajectories can be identical in space-time we consider they are different movements of two distincts species or :
two distinct species of movements. (166)
The momentum is a set of parameters : **J **= { J1 , J2 , J3 , ........, Jn } One is Energy J1 = E .
Three others : ( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
form the impulsion vector p , all quantities which are familiar to physicists.
...These quantities can rise as pure geometric quantities, directly linked to the chosen group. You will see further that the number of quantities which forms the momentum is equal to the dimension of the group.
...Then what's the rules of the game we are going to play to ?