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Il progetto.
...Il nostro punto di partenza sarà un gruppo dinamico G, cioè una famiglia di matrici quadrate g.
...Dinamico: perché il tempo vi è coinvolto.
...Questo gruppo ha una certa dimensione n. Può agire su uno spazio X, che possiede la sua propria dimensione (che non ha alcun legame con la dimensione del gruppo, questa ultima essendo il numero di parametri indipendenti che definiscono ogni matrice g dell'insieme, che costituisce il gruppo G).
...Ora abbiamo bisogno di un’azione, per definire uno spazio su cui il gruppo agisce, il suo spazio dei momenti (o spazio degli impulsi). Questo spazio non è lo spazio-tempo in cui si suppone che le particelle si muovano. Costruire uno spazio del genere ci condurrà in un paese strano, che assomiglierà a una terra schizofrenica. Ma se segui questo percorso, ti avvicinerai alla realtà fisica più di quanto tu abbia mai fatto prima.
...Una volta che disponiamo di uno spazio su cui giocare e di un’azione su cui agire, potremo classificare i momenti-movimento in specie, quindi identificare tali specie con le particelle elementari.
...In precedenza abbiamo indicato che il prodotto di un gruppo per un vettore, corrispondente a SO(2) e O(2), così come a SO(3) e O(3), costituisce un’azione: g × r
cioè:
(166b)
Osserviamo che possiamo scriverlo in modo equivalente:
(167)
Per il gruppo euclideo orientato e il gruppo euclideo completo, dobbiamo scrivere un’azione:
(168)
Ma queste azioni, così come le corrispondenti azioni dei gruppi dinamici sullo spazio, come:
(169)
non producono... nulla. Semplicemente spostano oggetti nello spazio, o nello spazio-tempo, o in spazi più raffinati (spazio a cinque dimensioni, spazio a dieci dimensioni).
Dobbiamo cercare qualcosa "nascosto sotto il gruppo": il suo spazio dei momenti (tutti i gruppi di matrici ne possiedono uno) e la sua
azione coadiunta sullo spazio dei momenti.
che corrisponde alla fisica reale.
Che cos’è la fisica?
...Buona domanda. Il matematico francese Jean-Marie Souriau ha inventato il concetto di azione coadiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti, e lo ha dimostrato all'inizio degli anni settanta. Questo punto sarà sviluppato in seguito.
...Naturalmente, il fisico, una volta terminati i calcoli, chiederà:
Perché?
...In altre parole, funziona, ma possiamo dare un significato fisico al concetto di azione coadiunta di un gruppo dinamico sul suo spazio dei momenti? La risposta sembra essere no.
...Immagina di essere uno studente di Aristotele. All'improvviso hai un'intuizione e inventi una nuova parola per chiamarla:
inertìa.
...Aristotele arriva. È stato informato da altri studenti che avevi inventato qualcosa di nuovo, e ti chiede:
– Potresti spiegarci cosa significa inertìa?
Non potrai farlo usando il vocabolario di Aristotele. Avrai così incontrato un cambiamento di paradigma.
...Passiamo al Medioevo. Prova a spiegare una reazione chimica usando il linguaggio dei quattro elementi. È altrettanto impossibile...
L'azione coadiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti costituisce un cambiamento di paradigma. È un nuovo approccio alla fisica.
In realtà, i fisici manipolano costantemente azioni di gruppi quando parlano di "invarianza" o di "leggi di conservazione".
Un fisico convenzionale allora porrà la seguente domanda:
– Puoi spiegarmi, in termini semplici se possibile, cosa significa l'azione coadiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti?
Rispondiamo:
– Perché usi le leggi di conservazione in fisica?
– Ah... perché esistono quantità conservate: energia, massa, carica elettrica...
– Perché sono conservate?
– Ma è un principio fondamentale!
– Mio caro amico, considera l'azione coadiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti come un principio fondamentale.
– Cosa vuoi dire?
– Tutta la fisica si basa su una struttura di gruppo. Se identifichi il gruppo, puoi costruire la sua azione coadiunta e lo spazio dei momenti corrispondente. Successivamente, le componenti del momento diventano le grandezze fisiche corrispondenti.
– ………
Attenzione. Se sei un fisico (anche teorico...) e leggi quanto segue, subirai una mutazione paradigmatica. Dopo di ciò, la fisica sarà semplicemente... diversa.
Azioni.
Che cos’è un’azione?
Qualcosa collegato a un gruppo, che obbedisce agli assiomi seguenti:
(170)
Naturalmente, per i gruppi di matrici, l'operazione di composizione è:
x
(moltiplicazione matriciale riga-colonna)
Per i gruppi di matrici possiamo scrivere:
(171)
Consideriamo il vettore colonna:
(172)
dove x, per esempio, rappresenta i vettori (173)
(174) soddisfa gli assiomi di un’azione? Siano g e g' due elementi del gruppo G.
(175)
(175b)
Dobbiamo avere:
(176) Ag(Ag'(x)) = Ag''(x)
cioè:
(177)
in virtù della proprietà associativa:
(178) g'' = g × g'
È effettivamente un’azione del gruppo.
...Osserviamo che abbiamo posizionato l'elemento g del gruppo G a sinistra. Cosa succede se lo posizioniamo a destra? Allora deve essere combinato con una matrice riga y.
(179) Ag(y) = y × g
Si tratta di un’azione?