a4115
| 15 |
|---|
Abbiamo bisogno di:
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
Ma:
Il prodotto di due matrici non è, in generale, commutativo. Di conseguenza:
(181) Ag(y) = y × g
non è un’azione di gruppo: non soddisfa gli assiomi precedenti. Tuttavia corrisponde a un’«anti-azione»:
(182)
Per le matrici:
(183)
Continuiamo la ricerca di azioni e anti-azioni. A partire dal vettore x, possiamo costruire il suo trasposto e provare:
(184)
Si tratta di un’azione? Procediamo.
g" = g × g'
(185)
(186)
Qui utilizziamo un teorema del calcolo lineare:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
dove M e N sono matrici arbitrarie (n,n). Da ciò segue:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
e:
(189)
che costituisce effettivamente un’azione di gruppo. Consideriamo ora:
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Dimostriamo che si tratta di un’azione. Considereremo le tre seguenti matrici.
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
Dobbiamo verificare:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Calcoliamo il membro di sinistra:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
ovvero:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
cioè:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
Si tratta effettivamente di un’azione di gruppo. La chiameremo, secondo Souriau,
azione aggiunta:
(193)
Ora considereremo un’anti-azione del gruppo su una matrice m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
Dimostriamo che soddisfa:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
Calcoliamo il membro di sinistra:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
oppure:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
cioè:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )
oppure:
(199) g"⁻¹ × m × g"