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Abbiamo bisogno di:
Azioni duali.
Abbiamo costruito sopra un'azione:
(200)
e un'anti-azione:
(201)
La prima può riferirsi a un qualsiasi vettore colonna m:
(202) m' = g x m
e la seconda a un qualsiasi vettore riga n:
(203) n' = n x g⁻¹
m appartiene a uno spazio M
n appartiene a un altro spazio N.
Formiamo lo scalare:
(204) S = n m Notiamo che:
(205) n' **m' **= n x g⁻¹ x g x m
...Diremo che le due azioni considerate sono duali. Analogamente, gli spazi M e N, ai quali appartengono m e n, sono spazi duali: N = M* o M = N*
In generale, si dice che se m è un vettore, n è il suo covettore.
Il prefisso co è caratteristico della dualità. Come notato da Souriau, la dualità esiste anche in politica e aggiunge:
- La dualità era presente nel marxismo-leninismo fin dall'inizio. Pensate al comunista e al muniste.
Adottiamo un'altra prospettiva. Supponiamo di avere un'azione e voler costruire la sua duale.
Schematicamente:
(206)
... Per formare un prodotto scalare con il vettore colonna m, n deve essere un vettore riga. Questi due vettori devono quindi essere definiti dallo stesso numero di scalari:
(207)
quindi cerchiamo l'azione duale:
(208)
n' = Ag(n) in modo che il prodotto scalare:
(209)
rimanga invariante. Dobbiamo avere:
(210)
n' m' = n m Abbiamo:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
la cui soluzione è:
(213) Ag(n) = n x g⁻¹
Verso la costruzione dell'azione fondamentale, o azione coadiunta di un gruppo sul suo spazio momento (dopo Souriau).
Cerchiamo un'azione del gruppo sul suo "spazio momento". La costruiremo come duale di un'anti-azione:
(214) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
... Nella sezione precedente m era un vettore. Ma in (214) si tratta di una matrice. Prenderemo una matrice dipendente da un certo numero di parametri: { m₁, m₂, ..., mₙ }
Dobbiamo immaginare un insieme duale di scalari: { n₁, n₂, ..., nₙ }
in modo che:
(215)
Schematicamente:
(216)