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Scelta della matrice m.
... Un gruppo G può essere paragonato a una certa superficie. Dipende da un certo numero di parametri. Sia P lo spazio dei parametri del gruppo e p un punto di questo spazio. Il numero di questi parametri pi è la dimensione del gruppo.
(217)
Mostrato: l'elemento neutro e (la matrice identità 1).
Possiamo dare un incremento d p:
(218)
... Successivamente, deriviamo la matrice g, che è un elemento del gruppo. Otteniamo una matrice quadrata dg che non appartiene al gruppo. La chiamiamo vettore tangente al gruppo. Questi vettori tangenti formano ciò che si chiama l'algebra di Lie del gruppo (che in realtà non è un'algebra).
Scegliamo di derivare nell'intorno dell'elemento neutro:
(219)
e scegliamo l'anti-azione seguente:
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Osservazione:
Perché scegliamo il vettore tangente al gruppo in g = 1?
... Potremmo utilizzare una forma più generale, un vettore tangente dg in qualsiasi punto del gruppo. Otterremmo lo stesso risultato, ma i calcoli sarebbero molto più laboriosi.
La dimensione del gruppo è n. La matrice g dipende da n parametri { pi }.
L'elemento dell'algebra di Lie dg(g=e) dipende dallo stesso numero di parametri { d pi }.
Il calcolo dell'anti-azione sopra fornirà l'applicazione:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
Introduciamo lo stesso numero di scalari: { J i }
Chiamiamo questo insieme il momento J del gruppo. J = { J i }
È un insieme di n grandezze, n scalari. A volte possiamo rappresentarlo sotto forma di matrice (azione di Poincaré sul suo momento).
{ J i } è il vettore cotangente { d p i } al vettore tangente del gruppo. La dualità dà:
(222)
A partire da questa conservazione del prodotto scalare, se conosciamo l'applicazione:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
possiamo costruire l'applicazione duale:
(224) { J i } -----> { J 'i }
Questa è l'azione fondamentale che cerchiamo, e Souriau la chiama azione coadiunta del gruppo sul suo spazio dei momenti.
Il modo migliore per illustrare questo concetto è dare un esempio:
Azione coadiunta del gruppo di Poincaré sul suo spazio dei momenti Jp.
In precedenza abbiamo presentato il gruppo di Lorentz generalizzato. Scegliendo:
(225)
otteniamo il gruppo di Lorentz L il cui elemento L obbedisce alla definizione assiomatica:
(226)
Il vettore spazio-tempo è (227)
Con c = 1 otteniamo la forma quadratica elementare, la metrica di Minkowski:
(228)
La matrice inversa è (229)
Introduciamo ora una traslazione nello spazio-tempo:
(230)
costruiamo l'elemento gp del gruppo di Poincaré Gp come segue:
(231)
Esercizio: dimostrare che si tratta di un gruppo e calcolare la matrice inversa:
(232)
L'elemento dell'algebra di Lie è (233)
e l'anti-azione:
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
Notiamo che
(235) G d L
è una matrice antisimmetrica. Chiamiamola:
(236)
da cui:
(237)
Sia:
(238)
da qui possiamo costruire l'anti-azione:
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
il che ci dà l'applicazione:
(240)
(240b) (240c)
è l'applicazione cercata:
(241)