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Particelle con spin.
...Il gruppo di Poincaré descrive il movimento relativistico di un oggetto puntiforme. Allo stesso modo, il gruppo di Bargmann descrive il movimento non relativistico. Le componenti del momento appaiono come quantità puramente geometriche. È una geometrizzazione della fisica. I fisici sono familiari con l'energia E e il vettore impulso p. Ma potrebbero essere un po' confusi dagli altri due oggetti: il passaggio f e il vettore spin l. La forma delle componenti del momento dipende dalla scelta delle coordinate. ...Ogni gruppo dinamico ha il suo spazio dei momenti e la sua azione coaggiunta su questo spazio. Se, invece di scegliere per primo il mondo relativistico (gruppo di Poincaré), avessimo scelto il mondo non relativistico, avremmo dovuto fare riferimento al gruppo di Bargmann. Per i dettagli calcolativi, vedere le mie lezioni sui gruppi. Il gruppo di Bargmann è un'estensione non banale del gruppo di Galileo: (272)
Come il lettore può notare, questo gruppo agisce su uno spazio a cinque dimensioni:
**r **: spazio
t : tempo
z : una variabile aggiuntiva.
...Queste questioni relative alle variabili aggiuntive saranno trattate in seguito. Su questo sito è stato dato sopra il calcolo completo dell'azione coaggiunta del gruppo di Poincaré. Si potrebbe anche derivare il calcolo dell'azione coaggiunta del gruppo di Bargmann sul suo spazio dei momenti. Paradossalmente, il calcolo nel mondo non relativistico è un po' più complesso di quello nel mondo relativistico. Il risultato è il seguente: (273)
Il fisico riconosce alcuni oggetti familiari, come la velocità: (274)
e l'energia cinetica: (275)
m v è l'impulso. Velocità rispetto a cosa? Un gruppo cambia i parametri del movimento, dà a una particella una velocità v e un'energia cinetica E. Si può adottare l'interpretazione inversa, e considerare che un gruppo è un punto di vista particolare su qualcosa, su una particella. Se consideriamo il gruppo SO(3), le matrici a, significa "visto da un altro angolo". Se consideriamo il gruppo O(3), le matrici a, aggiunge la possibilità di osservare "la cosa" attraverso uno specchio.
Il vettore di traslazione (276)
del gruppo di Euclide aggiunge "visto da un'altra parte".
Nei gruppi dinamici, la presenza di una velocità v nel gruppo significa che l'osservatore si muove. La traslazione temporale e = Dt significa che l'osservatore vede la cosa dopo un certo ritardo. Il vettore di traslazione Dr e il ritardo temporale Dt possono essere combinati in un vettore di traslazione spazio-temporale: (277)
Guarda le formule, dal gruppo di Bargmann, vediamo che:
m' = m
Qualsiasi sia il punto di vista, la massa rimane invariata.
Semplifichiamo un po' questo "punto di vista", scegliendo a = 1.
L'azione coaggiunta diventa: (278)
...L'azione coaggiunta indica il cambiamento dei parametri del movimento. Se consideriamo che passiamo da una situazione stazionaria a una non stazionaria, le condizioni iniziali corrispondono a:
E = 0 (energia nulla)
**p **= 0 (impulso nullo, velocità nulla)
"passaggio" f = 0
Allora l'azione coaggiunta dà: (279)
"Considerare" deve essere letto nel suo significato etimologico.
Un esattore dice: - Fare un inventario e un rilievo.
...Una visione statica (v = 0) delle cose corrisponde al gruppo di Euclide. L'esattore osserva le cose a distanza c. Osserva i fatti nel momento in cui avvengono (Dt = 0). Eventualmente osserva da un certo angolo (a diverso da 1).
...Un generale, che sorvola un campo di battaglia in aereo, è una sorta di esattore che osserva le cose da un punto di vista mobile (da un aereo che vola alla velocità v). ...Ma un generale, nel suo quartier generale, che guarda un film girato da un aereo senza pilota, un drone, alcune ore prima, dice: - Considerando la target, come era un'ora prima (Dt non nullo), vista da un punto di osservazione in movimento (v non nullo), da un'altitudine di cinquemila piedi (c non nullo), volando alla velocità v e scattando la foto da un certo angolo (a diverso da 1).
...Una target non ha velocità, posizione o orientamento definiti, anche se si suppone che sia un "edificio fisso". Tutto è relativo. Anche la Terra, il Sole, la nostra galassia si muovono nello spazio.
...Il "polo nord" della Terra è diverso da quello del Sole di 23°, e cambia nel tempo (26.000 anni), a causa della precessione degli equinozi. Il nord indicato dal Sole (il suo asse di rotazione) non è lo stesso indicato dalla nostra galassia, la Via Lattea, che ha il suo proprio movimento di rotazione (differenza di 90°). Anche una galassia si muove a trecento miglia all'ora. Rispetto a cosa? Rispetto agli altri. Questo è tutto ciò che si può dire. Il gruppo corrisponde a due punti di vista diversi.
...Se considero che l'oggetto è fermo, fisso nello spazio e nel tempo, e non ha movimento di rotazione, tutto ciò che posso dire è:
- Se mi allontano a una distanza c.
- Se osservo la cosa volando alla velocità v.
- Se l'informazione proveniente da questa cosa mi arriva con un ritardo temporale Dt.
*Rispetto a me *:
---> La massa dell'oggetto non è modificata.
----> Assegno all'oggetto un impulso mv, considerato apparente.
-----> L'oggetto acquisisce un "passaggio" **f **= m [ c - v Dt ]
-----> Acquisisce un momento angolare (279b)
Scriviamolo in modo più esplicito: (280)
(281)
(282)
o: (283)
Si può considerare le tre componenti indipendenti della matrice di spin l come le componenti di un vettore: (283b)
...Anche se il prodotto vettoriale non è stato definito nel nostro spazio, cioè non abbiamo assegnato all'spazio un'orientazione destra-sinistra, possiamo considerare l'espressione finale come un prodotto vettoriale. (284)
...Il v rovesciato indica il prodotto vettoriale. Vediamo che l'ultima riga delle formule che danno l'azione coaggiunta corrisponde a: (285)
l è una matrice, non un vettore. Ma, a seconda della notazione scelta, le lettere in grassetto indicano indifferentemente una matrice o un vettore.
Questo vettore inizia a somigliare a qualcosa di familiare al fisico: il momento angolare.
Index Teoria dei gruppi dinamici
Versione originale (inglese)
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Particles with spin.
...The Poincarés' group describes the relativistic movement of a point-like object. Similarly the Bargmann group describes the non-relativistic movement. The components of the moment arise as pure geometric quantities. It's a geometrization of physics . The physicists are familiar to the energy E and impulsion vector p. But they can be a little bit puzzled by the two other objects : the passage f and the spin vector l . The form of the momentum's components depends on the choice of coordinates. ...Each dynamic group owns its momentum space and coadjoint action on this momentum space. If, instead chosing at first the relativist world (Poincaré's group) we had chosen the non-relativistic world, we would have to refer to the Bargmann's group. For computational detail see my lectures on groups. The Bargmann group is a non-trivial extension of the Galileo's group : (272)
As the reader can see, this group acts on a five dimensional space :
**r **: space
t : time z : an additional variable.
...These questions of additional variable or additional variables will be treated further. In this site full calculation of the coadjoint action of the Poincaré group has been given above. One could also derive the calculation of the coadjoint action of the Bargmann's group on its momentum. Paradoxically, the calculation in the non-relativist world is somewhat more complicated than the one in relavistice world. The result is the following : (273)
The physicist identifies somes familiar objects, like the velocity : (274)
and kinetic energy : (275)
m v is the impulsion. Velocity with respect to what ? A group changes the parameters of the movement, gives to a particle a velocity v and a kinetic energy E . We can choose the opposite interpretation, and consider that a group is a peculiar point of view on something, on a particle. If we consider the group SO(3), the matrixes a, it means "seen along another angle of view". If we consider the group O(3), matrixes a, it adds the possibility to observe the "thing" through a looking glass.
The translation vector (276)
of the Euclid's group adds "seen from elsewhere".
In dynamic groups, the presence of a velocity v in the group means that the observer moves. The time-translation e = Dt means that the observer sees the thing after some delay. The translation vector Dr and the time delay** **Dt can be put together in a space-time translation vector : (277)
Look at the formulas, from Bargmann's group, we see that :
m' = m
Whatever is the point of view, the mass in unchanged.
Let us simplify a little bit this "point of view", choosing a = 1.
The coadjoint action becomes : (278)
...The coadjoint action indicates the change in the movement's parameters. If we consider we pass from a steady situation to a non-steady situation, the inital conditions correspond to :
E = 0 ( zero energy )
**p **= 0 ( zero impulsion, zero velocity )
"passage" f = 0
The the coadjoint action gives : (279)
"To consider" must be read in its etymologic meaning.
A process server says : - Drawing up a survey cum inventory.
...A static (v = 0) vision of things, corresponds to the Euclid's group. The process server observes things at distance **c **. He observes facts at the time they happen (Dt = 0). Eventuallly he looks from a certain angle (a different from 1).
...A general, flying over a battle field, in a plane, is some sort of a process server, who observes things from a moving point of view (from a plane cruising at velocity v). ...But a general, in his headquarters, looking at a movie taken by a pilotless plane, a drone, some hours before, says : - Considering the target, as it was one hour before (non zero Dt), seen from a moving point of observation (non zero v) , from an altitude of five thousand feet (non zero c), cruising at velocity v and taking picture through a certain angle (a being different from 1).
...A target has no defined velocity, or position, or orientation, even if it is supposed to be a "fixed" building. Everything is relative. Even the Earth, the Sun, our galaxy move over space.
...The "north pole" of the Earth is different from the "north pole of the Sun", from 23°, and it changes in time ( 26,000 years), due to equinox precession. The north indicated by the sun ( its own rotation axis ) is not the north indicated by our galaxy, the milky way, which has its own spining movement ( 90°'s gap ). Even a galaxy moves, at a trhree hundred miles per hour. With respect to what ? To the other ones. That's all we can say. The group corresponds to two different points of view.
...If I consider that the object is steady, fixed in space and time, and owns no spining movement, all that I can say is :
- If I move off at distance c . - If I observe the thing, when cruising at velocity v . - If the information, coming from this thing, joins me with a time-delay Dt.
*With respect to me *:
---> The mass of the object is not modified.
----> I give the object an impulsion mv, considered as an apparent one. -----> The object gets a "passage" **f **= m [ c - v Dt ] ----> It gets a spin (279b)
Write it in a more explicit way : (280)
(281)
(282)
or : (283)
One may consider the three independent components of the spin matrix l as the component of a vector : (283b)
...Although the vectorial product has not been defined in our space, i.e : we did not give space a right-left orientation, we can consider the last expression as a vectorial product. (284)
...The reversed v indicates the vectorial product. We see that the last line of the formulas giving the coadjoint action corresponds to : (285)
l is a matrix, not a vector. But, according to the chosen notation, bold letters indicates indifferently a matrix or a vector.
This vector begins to look like something familiar to the physicist : the kinetic momentum .