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Ricordiamo le componenti del gruppo di Poincaré:
E: energia
p: impulso
f: passaggio
l: matrice di spin.
Per restare vicini al testo di Souriau, chiamiamo
-
Ln l'elemento della componente neutra Ln del gruppo di Lorentz completo L.
-
Ls l'elemento che inverte lo spazio.
-
Lt l'elemento che inverte il tempo.
-
Lst l'elemento che inverte sia lo spazio che il tempo.
C essendo il vettore di traslazione spazio-temporale, otteniamo le seguenti componenti del gruppo di Poincaré:
gp ( Ln , C) elemento della componente neutra Gpn.
gp ( Ls , C) elemento della componente Gps, che inverte lo spazio.
gp ( Lt , C) elemento della componente Gpt, che inverte il tempo.
gp ( Lst , C) elemento della componente Gpst, che inverte entrambi.
L'azione coaggiunta è: (313)
P è il quadrivettore: (314)
Abbiamo quattro matrici caratteristiche: (315)
con l = ± 1 e m = ± 1.
Ln = L ( l = 1 ; m = 1)
Ls = L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt = L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst = L ( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
Ci interessiamo a C = 0 (319)
da cui l' = l e f' = l m f
e: (320)
gp ( Ln , C) : I E → E ; p → p ; f → f ; l → l
gp ( Ls , C) : I E → E ; p → - p ; f → - f ; l → l
gp ( Lt , C) : I E → - E ; p → p ; f → - f ; l → l
gp ( Lst , C) : I E → - E ; p → - p ; f → f ; l → l
Le inversioni non modificano la matrice di spin l.
Al contrario, l'inversione T e l'inversione dell'energia sono sinonimi.
E → -E (si potrebbe chiamarla una "simmetria E")
Il momento angolare s, come il modulo del vettore di spin s, è solo un numero, invariato dall'azione di tutte le componenti dei gruppi, sia esse ortocroni o anticrone. ...L'energia a riposo di una particella è mc². Come vediamo, l'inversione della massa va di pari passo con l'inversione del tempo. Ma l'inversione dello spazio non modifica né l'energia né la massa.
Souriau chiama le prime due componenti connesse del gruppo di Poincaré completo:
Gpn, Gps
le componenti ortocroni (Gpn è la componente neutra).
E le altre due: Gpt, Gpst
le componenti anticrone. Questo solleva il problema delle masse negative. Esistono? Se sì, cosa succede alla collisione tra particelle di masse ed energie opposte:
- mc² e - mc²
...Notiamo che non corrisponde all'annichilazione di una coppia particella-antiparticella. Durante la collisione di queste ultime, si ottiene energia radiativa, fotoni. Il risultato della collisione di una particella di energia positiva e una di energia negativa dovrebbe essere molto più sconcertante, poiché dovrebbe essere nullo: niente.
...Cosa è la natura, cosa sono le particelle? In questo approccio, partiamo da un gruppo dato: il gruppo di Poincaré. Successivamente costruiamo l'azione di questo gruppo sul suo spazio dei momenti. Questo spazio dei momenti è costituito da punti. Ogni punto corrisponde a un movimento di uno degli oggetti geometrici che compongono lo spazio associato al gruppo.
...Nel seguito mostreremo che il gruppo di Poincaré non è in grado di gestire tutte le caratteristiche delle particelle.
...La dimensione del gruppo di Poincaré è 10.
La dimensione dello spazio dei momenti è quindi anch'essa 10. (321) J = { E , p , f , l }
Se scegliamo un sistema di coordinate legato alla particella, f = 0.
In sintesi, le sole caratteristiche che emergono naturalmente dal gruppo di Poincaré, come grandezze geometriche, sono:
Per una particella di massa zero:
- La sua energia - Il suo spin e la sua elicità
Per una particella di massa non zero:
- La sua massa a riposo - Il suo spin.
Le altre caratteristiche:
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Carica elettrica
-
Carica barionica
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Carica leptonica
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Carica muonica
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Carica tauonica
-
Fattore giromagnetico
e il fatto che questa particella possa corrispondere al mondo della materia o dell'antimateria non sono "contenute" nel gruppo di Poincaré. Arricchiremo successivamente il gruppo per trattarle.
Attualmente, il gruppo non "costruisce" le particelle e le antiparticelle. Ma, se completato dai suoi due sottoinsiemi (le due componenti ortocroni più le due componenti anticrone), "costruisce" come specie distinte le particelle di energia positiva e di energia negativa.
...Se il gruppo di Poincaré completo "governa" l'universo, allora le energie positive e negative potrebbero coesistere, in modo che la loro interazione produca un fenomeno di annichilazione completa. Se l'universo fosse pieno al 50% di particelle di energia positiva e al 50% di particelle di energia negativa, ci sarebbe un grande rischio che l'universo si annichilasse da solo, lasciando niente:
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Nessuna particella di energia positiva.
-
Nessuna particella di energia negativa - Nessun fotone di energia positiva
-
Nessun fotone di energia negativa.
Niente. Assolutamente niente. Che problema!
...Come suggerisce Souriau, Dio, nella sua infinita saggezza, avrebbe creato solo particelle di energia positiva e fotoni di energia positiva. Allo stesso modo, i suoi angeli proibirebbero l'uso delle componenti anticrone del gruppo di Poincaré, che sarebbero rigorosamente rinchiusi da qualche parte.
...Penseremo a un'alternativa in una sezione successiva.