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Il gruppo speciale di Galilei.
...Il lettore troverà questa estensione nel libro di Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhäuser Ed. 1997 e, in francese, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Un gruppo può essere esteso. Ciò significa che il numero di parametri da cui dipende aumenterà. Calcoliamo il numero di parametri dipendenti dal gruppo di Galilei. Partiamo dalla matrice di rotazione in 3D:
(322)
Si tratta di una matrice ortogonale:
(323)
Queste matrici formano il gruppo SO(3), che è un sottogruppo del gruppo O(3) composto da tutte le matrici ortogonali. Abbiamo:
(324)
Ricordiamo la differenza con:
(325) (325b)
sono le matrici ortogonali più generali, i cui determinanti obbediscono a:
(326)
Fine di questa parentesi.
Il prossimo gruppo di matrici quadrate (5,5) sarà chiamato il gruppo speciale di Galilei:
(327)
La matrice di rotazione dipende da tre parametri liberi, gli angoli di Eulero. Così la dimensione del gruppo è dieci.
Utilizzando le notazioni:
(328)
otteniamo:
(329)
Associato al vettore spazio-tempo:
(330)
in modo che l'azione corrispondente del gruppo speciale di Galilei sia:
(331)
...Dato il gruppo speciale di Galilei, è possibile calcolare l'azione del gruppo sul suo spazio dei momenti. Questo calcolo non sarà fornito qui. Il lettore potrà trovarlo nei miei corsi sui gruppi, disponibili.
Diamo il risultato:
(332)
Riconosciamo il momento p e l'energia E. Il momento è composto da:
(333) JSG = { E , p , f , l }
...Dieci quantità scalari. Dieci dimensioni per il gruppo. Abbiamo ancora il vettore di traslazione f e la matrice antisimmetrica di spin l (composta da tre componenti indipendenti lx, ly, lz, che formano il "vettore spin").
L'estensione banale del gruppo speciale di Galilei.
Le seguenti matrici formano un nuovo gruppo.
(334)
Introduce una nuova componente f, scalare, il "phasis" (collegato al mondo quantistico). La dimensione del gruppo diventa 10 + 1 = 11.
Questo nuovo gruppo agisce su uno spazio a cinque dimensioni:
(335)
z è una "dimensione aggiuntiva". È stata introdotta per la prima volta dal polacco Kaluza, nel 1921, poi da J.M. Souriau, nel 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, non tradotto in inglese).
Ancora una volta, si può calcolare l'azione coadiunta corrispondente del gruppo sul suo spazio dei momenti. Troviamo quanto segue:
(336)
Il momento diventa:
(337) JTESG = { m , E , p , f , l }
...Abbiamo una quantità scalare aggiuntiva m e la identifichiamo alla massa. Vediamo che il gruppo speciale di Galilei, agendo sullo spazio-tempo, porta l'energia, ma non la massa, come componente del momento. Al momento attuale (attraverso estensione banale), la nostra particella ottiene un attributo aggiuntivo, identificato alla massa, in modo molto arbitrario, e che non interagisce con le altre componenti del momento.
Index Teoria dei gruppi dinamici
Versione originale (inglese)
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The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.