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Estensione non banale del gruppo speciale di Galilei.
Il gruppo di Bargmann (1960)
Le seguenti matrici (vedi i miei corsi sui gruppi)
(338)
formano un gruppo, scoperto da Bargmann nel 1960. Anche qui agisce su uno spazio a cinque dimensioni. La sua dimensione è 11, a causa della presenza dello scalare f. Si tratta di un'estensione non banale del gruppo speciale di Galilei.
(339)
Se si calcola l'azione coadiacente del gruppo sul suo momento, si ottiene:
(340)
...Vediamo che questa azione coadiacente è più fine, e che la massa interagisce con le altre componenti del momento. Abbiamo analizzato ciò in precedenza e mostrato come ciò conferisca un significato fisico alle componenti del momento.
...Un momento è un movimento di una particella data. Il gruppo di Bargmann descrive i movimenti non relativistici. Si può considerare una particella ferma, senza energia, senza impulso, senza spin. Solo una massa non nulla:
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
Utilizziamo l'elemento seguente del gruppo di Bargmann:
(341)
Le componenti del momento diventano:
(342)
...In un sistema di coordinate legato alla particella, il passaggio **f **rimane nullo. Abbiamo mostrato che la matrice di spin si identifica con il momento angolare.
...Qui ciò che è importante è esaminare l'estensione banale del gruppo speciale di Galilei (perché "speciale"? Questo sarà spiegato in seguito). Quando si effettua questa estensione banale, si aggiunge semplicemente uno scalare aggiuntivo al momento.
Esaminiamo ora l'estensione del gruppo di Poincaré:
Estensione centrale del gruppo di Poincaré. (343)
« ep » significa « gruppo di Poincaré esteso ». Lo è l'elemento del sottogruppo ortocrono Lo del gruppo di Lorentz completo L. Così possiamo considerare l'elemento sopra come il sottogruppo ortocrono Gepo di un gruppo di Poincaré esteso completo, il cui elemento è:
(344)
I due agiscono su uno spazio a cinque dimensioni:
(345) ( t , x , y , z , z ).
Si può dimostrare che questa estensione non può sostenere termini non nulli sulla prima riga, al posto di 0 = ( 0 0 0 ), tra 1 e f.
...Come mostrato da J.M. Souriau, il metodo di quantificazione geometrica (metodo di Kostant-Kirillov-Souriau) permette di ottenere l'equazione di Schrödinger dal gruppo di Bargmann e l'equazione di Klein-Gordon dal gruppo di Poincaré esteso ( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972). Inoltre, questa estensione centrale del gruppo aggiunge uno scalare aggiuntivo al momento (come nell'estensione banale del gruppo di Bargmann):
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp rappresenta il momento classico del gruppo di Poincaré. Allora l'azione coadiacente del momento diventa semplicemente:
(347)
Il calcolo non è complicato e è simile a quello presentato in precedenza. Si calcola l'anti-azione:
(348)
Poi la dualità si esprime attraverso la costanza dello scalare seguente:
(349)
...Si ottiene così uno scalare aggiuntivo c, che è semplicemente conservato dall'azione coadiacente. Da allora, questo scalare non aveva ricevuto alcuna interpretazione fisica. Spiegheremo tutto ciò nel seguito. Ovviamente, si può estendere il gruppo quante volte si desidera:
(350)
Ogni volta si aggiunge uno scalare aggiuntivo
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } e l'azione coadiacente diventa:
(352)
Il lettore dirà: « Bene, perché non aggiungere 57 nuovi scalari? »
Aggiungiamo semplicemente sei e identifichiamo questi nuovi scalari con
(353)
c 1 = q (carica elettrica)
c 2 = cB (carica barionica)
c 3 = cL (carica leptonica)
c 4 = cm (carica muonica)
c 5 = ct (carica tauonica)
c 6 = v (coefficiente giro-magnetico)
Il gruppo agisce sullo spazio a dieci dimensioni seguente:
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
cioè: spazio-tempo più sei dimensioni aggiuntive.
(355)
Ricordiamo che questo gruppo è costruito a partire dal sottogruppo ortocrono
Lo = Ln (componente neutra) U Ls (corrispondente all'inversione spaziale)
del gruppo di Lorentz completo L.
Il momento diventa:
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp essendo la parte del momento corrispondente al gruppo di Poincaré Gop (sottogruppo ortocrono).
Qual è il significato fisico?
...Un momento appartiene a uno spazio, che è una varietà n-dimensionale. Il gruppo di Poincaré possiede dieci dimensioni, quindi il momento del gruppo di Poincaré è composto da dieci grandezze.
Poi aggiungiamo sei dimensioni aggiuntive al gruppo, corrispondenti alle fasi aggiuntive:
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Il momento diventa:
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
Decidiamo che tra l'insieme dei numeri scalari
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
identifichiamo l'energia E, la quantità di moto p, il passaggio f, la matrice antisimmetrica di spin l.
...E e p possono assumere tutti i valori possibili, ma gli argomenti quantistici impongono la costanza del modulo s del vettore di spin (in un sistema di coordinate legato alla particella), il che non è giustificato qui e corrisponde al lavoro di Souriau.
Abbiamo sei scalari aggiuntivi:
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...Decidiamo che, tra un'infinità di scelte possibili, alcune scelte discrete corrispondono a particelle reali (e antiparticelle). Allora, nella 16-varietà corrispondente allo spazio dei momenti, selezioniamo movimenti discreti corrispondenti a particelle, con numeri quantici definiti
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Per ora, l'azione coadiacente del gruppo garantisce semplicemente la conservazione di queste grandezze, lungo movimenti dati. Esistono "numeri quantici passivi" così come la massa appare come una quantità passiva, quando deriva dall'estensione banale del gruppo speciale di Galilei.