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Una definizione geometrica dell'antimateria.
...Come menzionato da Souriau nel 1964 in "Géométrie et Relativité", Éditions Hermann, capitolo VII "La Relativité à Cinq Dimensions" (la relatività a cinque dimensioni), pagina 413, « l'inversione della quinta dimensione corrisponde alla coniugazione di carica ».
...È vero se l'antimateria corrisponde alla definizione di Dirac. Diamo una definizione geometrica a priori dell'antimateria. Possiamo rappresentare lo spazio a dimensioni:
(368)
Ciò può essere schematizzato come segue, con uno spazio-tempo fibrato:
(369)
...Decidiamo che i movimenti della materia corrispondono ai valori positivi dei z i e quelli dell'antimateria ai valori negativi, il che corrisponde a:
(370)
È facile modificare il gruppo in modo da integrarvi questo concetto.
(371)
Questo diventa un gruppo a quattro componenti ( l = ± 1 ) × 2 (il gruppo ortocrono esteso possiede due componenti connesse).
La componente ( l = +1 ) è un sottogruppo.
...È chiaro che gli elementi ( l = -1 ) cambiano i segni delle variabili aggiuntive. Decidiamo che essi corrispondono alla dualità materia-antimateria, su basi puramente geometriche.
Sia:
(380)
Allora possiamo scrivere, in modo più compatto:
(381)
**l **= 1 corrisponde al sottogruppo ortocrono.
(382)
Introduciamo ciò che chiameremo un: « l-commutatore »:
(383)
Appartiene alla seconda componente. Ma ogni elemento di questa seconda componente può essere scritto come:
(384) go = glc × go
dove go è un elemento della componente ortocrona del gruppo.
Schematicamente:
(385)
A sinistra: lo spazio dei movimenti, con due emispati, corrispondenti a
(z i > 0) movimenti (materia)
e
(z i > 0) movimenti (antimateria)
Tra i due: i movimenti (z i = 0) (fotoni).
...A destra, il gruppo a quattro componenti. Tutti sono ortocroni. Tutti i movimenti corrispondono a energia positiva (più sotto, spazio degli impulsi).
Chiamiamo gli elementi ( l = -1 ) « anti-elementi ».
Abbiamo rappresentato l'anti-elemento del l-commutatore.
...Gli elementi ortocroni normali trasformano un impulso corrispondente a un movimento ad energia positiva J1+ in un altro movimento ad energia positiva J2+.
...Ma gli anti-elementi trasformano il movimento della materia ad energia positiva nel movimento dell'antimateria ad energia positiva ( J1+ -----> J3+ ) nello spazio degli impulsi. Il punto figurativo si trova nel quadrante corrispondente all'antimateria.
I percorsi corrispondenti sono rappresentati nello spazio di evoluzione
(385b)
Il calcolo dell'azione coadiunta del gruppo
(386)
sul suo spazio degli impulsi dà:
(387)
vedi:
J.P. Petit e P. Midy: "Geometrizzazione della materia e dell'antimateria attraverso l'azione coadiunta di un gruppo sul suo spazio degli impulsi. 2: Descrizione geometrica dell'antimateria di Dirac". Fisica Geometrica B, 2, 1998.
Indice Teoria dei Gruppi Dinamici
Versione originale (inglese)
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A geometrical definition of anti-matter.
...As mentioned by Souriau in 1964 in "Géometry and Relativité", Editions Hermann, chapter VII "La Relativité à Cinq Dimensions" ( the five dimensional relativity ), page 413, "the inversion of the fifth dimension corresponds to the charge conjugation".
...It is true if the anti-matter corresponds to Dirac's definition. Let us give an a priori geometric definition of anti-matter. We can figure space with dimensions :
(368)
This can be figured schematically as follows, with fibered space-time :
(369)
...We decide that matter's movements correspond to positive z i 's values and anti-matter's movements to negative ones, which corresponds to :
(370)
It is easy to modify the group in order to integrate this in it.
(371)
This becomes a four-components group ( l = ± 1 ) x 2 ( the extended orthochron group owns two connex components).
The component ( l = +1 ) is a sub-group.
...Clearly, the ( l = - 1 ) elements change the signs of the additional variables. We decide that it corresponds to matter anti-matter duality, on pure geometric grounds.
Let :
(380)
Then we can write, in a more compact way :
(381)
**l **= 1 corresponds to the orthochron sub-group.
(382)
Introduce what we will call a : " l-commuter " :
(383)
It belongs to the second component. But any element of this second component can be written :
(384) go = glc x go
being an element of the orthochron component of the group.
Schematically :
(385)
Left : the movement space, with two half-spaces, corresponding to
(z i > 0) movements ( matter )
and
(z i > 0) movements ( anti-matter )
Between the two the : z i = 0 movements ( photons ).
...Right, the four components group. All are orthochron. All movements correspond to positive energy ( below, momentum space ).
Call the ( l = - 1 ) elements "anti-elements".
We have figured the l-commuter anti-element.
...Normal orthochron elements transform a momentum corresponding to a positive energy movement J1+ into another positive energy movement J2+.
...But anti-elements transform positive energy matter's movement into positive energy anti-matter's movement ( J1+ -----> J3+ ) in momentum space. The figurative point is in the quarter which corresponds to anti-matter.
The corresponding paths are figured in the evolution space
(385b)
The calculation of the coadjoint action of the group
(386)
on its momentum gives :
(387)
see :
J.P.Petit and P.Midy : "Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's anti-matter". Geometrical Physics B, 2 , 1998.